数列知识点总结及基础练习.docx

知识点梳理：

一数列的概念

一数列的概念

数列的前n项和与通项的公式①S

n

?S(n?1)

?a?a

1 2

? ?a ；

?n

?

?a ??1

?

n S

n

S

n?1

(n?2)

数列的分类：①递增数列:对于任何n?N

?

,均有a

n?1

?a .②递减数列:对于

?n

?

任何n?N

?

,均有a

n?1

?a.③摆动数列:例如: ?1,1,?1,1,?1, .④常数数列:例

n

如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使a

n

?M,n?N

?

.⑥无界数列:对

于任何正数M,总有项a

n

使得a

n

M.

一、等差数列

一、等差数列

通项公式a

n

?a ?(n?1)d，a

1 1

为首项，d为公差。前n项和公式

n(a ?a) 1

S ? 1

n 2

n 或S

n

?na

1

? n(n?1)d.

2

等差中项：2A?a?b。

等差数列的判定方法：⑴定义法： a

a ?d（n?N

，d是常数）

??a

n

?是等差数列；⑵中项法：2a

?a

n?1 n

n?1

a

n?2

n

(n?N )?

?

???是等差数列.

an

a

等差数列的性质：

⑴数列?a

n

?是等差数列，则数列?a

n

p?、?pa

n

?（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列?a

n

?中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即

a,a

n

n?k

,a

n?2k

,a

n?3k

,?为等差数列，公差为kd.

⑶a ?a

n m

(n?m)d；a

n

?an?b(a,b是常数)；S

n

?an2?bn(a,b是

常数，a?0)

?⑷若m?n?p?q(m,n,p,q?N )，则a ?a ?a ?a；

?

m n p q

⑸若等差数列?a

?的前n项和S

S

? ?，则

? ?

? ?

n

⑹当项数为2n(n?N

n ?n?

)，则S ?S ?nd,S偶?a?1；

n

偶 奇 S a

奇 n

?当项数为2n?1(n?N )，则S ?S

?

奇 偶

?a,偶

Sn S

S

奇

?n?1.n

则

等比数列

等比数列

1前n项和与通项的关系：

若等差数列?a

n

a

?的前2n?1项的和为S

S

2n?1

，等差数列?b

n

?的前2n?1项的和为

S

2n?1

，则n

b

n

???2n?1

S

2n?1

(7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有

(7)设

是等差数列，则

（

是常数）是公差为

的等差数列；

(8)设

，

，

，则有

；

(9)

是等差数列的前 项和，则

；

(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列

，公差为 ，前 项和为

，

①．

为等差数列，公差为

；

②．

（即

）为等差数列，公差

；

③．

（即

）为等差数列，公差为 .

等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）

等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项

也就是，如果是的等比中项，那么G?

b，即G2?ab G=?

（ab0，

a G

有两个值）

ab等比数列的判定方法：

ab

①定义法：对于数列?a

n

?，若an?1?q(q?0)，则数列?a

a n

n

?是等比数列

②等比中项：对于数列?a

n

?，若a

n

a

n?2

?a2

n?1

，则数列?a

n

?是等比数列

等比数列的通项公式：如果等比数列?a

n

的首项是a

?1

?

，公比是q，则等比数

列的通项为a

n

?aqn?1或着a

1 n

?aqn?m

m

例题解析：

例1、若数列{a}的通项公式是a=2(n＋1)＋3，则此数列 ( )

n n

(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列

(C)是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列

, ,例2．数列1,?1 1?1,

, ,

2 4 8 16

A．(?1)n 1

2n

1

B．(?1)n 1

2n

C．(?1)n