731 复数的三角表示式（原卷版）.docx

731复数的三角表示式

导案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【习目标】

1知道复数的模和辐角的定义

2会求复数的模和辐角主值

3能求出复数的三角形式

【自主习】

知识点1复数的三角形式

1．定义：r(sθ＋isinθ)叫做复数＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数的模；θ是以轴的非负半轴为始边，向量eq\(,\s\up6(→))所在射线(射线)为终边的角，叫做复数＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

2．非零复数辐角θ的多值性

以轴正半轴为始边，向量eq\(,\s\up6(→))所在的射线为终边的角θ叫复数＝a＋bi的辐角，因此复数的辐角是θ＋2π(∈)(∈)．

3．辐角主值

(1)表示法：用arg表示复数的辐角主值．

(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．

(3)唯一性：复数的辐角主值是的、的．

知识点2复数的代数形式与三角形式的互化

复数＝a＋bi＝r(sθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(a＝，,b＝，,r＝\r(a2＋b2)))

【合作探究】

探究一代数形式与三角形式的转换

【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)1＝－2(sθ＋isinθ)；(2)2＝sθ－isinθ

归纳总结：

【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)3＝－sinθ＋isθ；(2)4＝－sinθ－isθ；(3)5＝s60°＋isin30°

探究二将复数的三角形式化为代数形式

【例2】将复数化为代数形式为．

归纳总结：

【练习2】复数的代数形式是

探究三复数的模与辐角主值

【例3】求复数＝1＋sθ＋isinθ(πθ2π)的模与辐角主值．

归纳总结：

【练习3】将＝eq\f(1＋itanθ,1－itanθ)(eq\f(11,4)πθ3π)化为三角形式，并求其辐角主值．

探究四复数辐角的应用

【例4】复数满足arg(＋3)＝eq\f(5,6)π，求|＋6|＋|－3i|最小值．

归纳总结：

【练习4】已知|－2i|≤1，求arg(－4i)最大值．

课后作业

A组基础题

一、选择题

1．若复数＝(a＋i)2的辐角主值是eq\f(3π,2)，则实数a的值是()

A．1 B．－1

．－eq\r(2) D．－eq\r(3)

2．设πθeq\f(5π,4)，则复数eq\f(s2θ＋isin2θ,sθ－isinθ)的辐角主值为()

A．2π－3θ B．3θ－2π

．3θ D．3θ－π

3．设复数2－i和3－i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于()

A．135° B．315°

．675° D．585°

4．复数满足，复数的辐角为30°，复数的模为()

A．1 B．－1

．－eq\r(2) D．－eq\r(3)

5．复数sin50°－isin140°的辐角的主值是()

A．150° B．40°

．－40° D．320°

6．若复数sθ＋isinθ和sinθ＋isθ相等，则θ的值为()

A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,4)或eq\f(5π,4)

．2π＋eq\f(π,4)(∈) D．π＋eq\f(π,4)(∈)

7．(多选)复数＝3＋eq\r(3)i化为三角形式正确的是()

A．＝2eq\r(3)(seq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))

B．＝2eq\r(3)(seq\f(π,6)－isineq\f(π,6))

．＝2eq\r(3)(seq\f(7,6)π＋isineq\f(7π,6))

D．＝2eq\r(3)(seq\f(13,6)π＋isineq\f(13π,6))

二、填空题

8．复数eq\f(1,s\f(π,3)＋isin\f(π,3))的代数形式是

9．已知复数满足eq\\t()－2i＝3－2ai(a∈R)，且eq\f(π,2)argπ，则a的取值范围为

10．已知＝seq\f(2π,3)＋isineq\f(2π,3)，则arg2＝

三、解答题

11．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．

(1)；(2)sineq\f(3π,5)＋iseq\f(3π,5)

12．已知复数满足等式＝eq\f(1,2)，且arg＝eq\f(π,6)，求

B组