离散数学课件第四章(第4讲).pptVIP

§5覆盖与划分《定义》：给定一非空集合Ｓ，又设若（1）（2）则称A为S的覆盖。例：S={a,b,c}，A={{a,b},{b,c}}，B={{a},{a,b},{c}}，C={{a},{b},{c}}，D={{a},{b},{a,c}}集合A,B,C,D都为S的覆盖。《定义》：给定一非空集合S，设非空集合如果有：（i,j=1,2…,m）则称集合A是集合S的一个划分。例：S={a,b,c}，A={{a,b},{c}}，B={{a},{c,b}}，C={{a},{b},{c}}，D={{a,b,c}}集合A,B,C,D都为S的划分。讨论定义：（2）划分A中的元素，称为划分的类，在定义中都是A中的一个类，类的个数称为划分的秩；（1）集合的划分一定是一个覆盖，而覆盖不一定是划分；（3）集合S上的秩最大的划分称最大划分，最小的称最小划分。例：设S={a,b,c}，下列均为S的一个划分：类有二个{a},{b,c},秩为2；类有二个{a,b},{c},秩为2；类有二个{a,c},{b},秩为2；秩为3；类有三个{a},{b},{c},秩为1。类有一个{a,b,c},所以A4是最大划分，A5是最小划分《定义》：设A和A’是非空集合S的二种划分，并可表示成：若A’的每一个类都是A的某一个类的子集，则称划分A’是划分A的加细，或讲A’加细了A，若A’加细了A且则称A’是A的真加细。例：S={a,b,c,d},S的划分：A={{a,b},{c,d}},A’={{a}{b}{c,d}}，则A’是A的真加细A’’={{a}{b}{c}{d}},则A’’是A的真加细《定义》：设X是一个集合，R是X中的二元关系，若R是自反的，对称的和可传递的，则称R是等价关系。例：实数集合上的“=”关系（相等）为等价关系§6等价关系试验证R是等价关系，画出R的关系图，列出R的关系矩阵解：（1）R={1,11,42,23,34,14,4}（2）R的关系矩阵和关系图R满足自反、对称和传递性质，∴R是等价关系例：设A={1,2,3,4}，R是A集合上的二元关系为整数}《定义》：设若为整数，则称x模m等于y，记作：R={x,y|}，则R是一个等价关系。《定理》：任何集合，R是集合A中的关系，例：设A={0，1，2，3，6}，R={〈x,y〉|x≠y∧(x,y∈A)∧y≡x(mod3)}，计算domR和ranR。《定义》：设R是A集合中的等价关系，对于任何的来讲，可把集合规定成：并称是由生成的R等价类。例：设A={a,b,c,d},R是A中的等价关系，R={a,ab,ba,bb,ac,cd,dc,dd,c}（1）（2）（3）若，则（4）对于所有的，或者或者（5）《定理》：设A是一个非空集合，R是A中的等价关系，则例：设X=N，关系R={是一等价关系，则R可以找出三个等价类：={0，3，6，9…}={1，4，7，10…}={2，5，8，11…}《定理》：设A是一非空集合，R是A中的等价关系，R等价类的集合{[x]R|x∈A}是A的一个划分，且此集合称为A关于R的商集，用表示之。例：设A={x1,x2…..xn}（1）A集合中的全域关系:是一个等价关系，∴X关于R1的商集它形成了A的一个最小划分（2）A中的恒等关系它形成了A的一个最大划分《定理》：X是一非空集合，A为X的一个划分，且 A={A1,A2,….An}，则由A导出的X中的一个等价关系 例：X＝{a,b,c,d}，A={{a,b},{c,d}}则R＝({a,b}×{a,b})?({c,d}×{c,d})={a,a,a,b,b,a,b,b,c,c,c,d,d,c,d,d}因此：集合X上的等价关系与X的划分之间有一一对应关系。《定义》：设X是一个集合，R是X中的二元关系，若R是自反的，对称的，则称R是相容关系。由定义知,等价关系是具有传递性的相容关系;相容关系是一个比等价关系更为普遍的关系。§7相容关系因为相容关系是自反和对称的,其关系矩阵是对称的且主对角线元素全为1,因此我们可仅用下三角矩阵T来表示和存储就够了,即关系矩阵可以简化为“阶梯形”。EX：设A={cat,teacher,cold,desk,knife,by}