离散数学课件第六章(第3讲).pptVIP

《定义》设G,*是一个群，且S?G是一个非空集合。若S,*满足下列三个条件，则称S,*是G,*的子群：

（1）e是G,*的幺元，且e?S；（保持幺元）

（2）对任一a?S一定有a-1?S；（保持逆元）

（3）对任一a,b?S一定有a*b?S。（运算的封闭性）注：

任一群G,*至少可找到两个子群，即{e},*和G,*，这两个子群称为平凡子群。§4群与子群例：设G，*是一个群，m∈G，N={g∈G|m*g=g*m},证明：N,*是G，*的子群。《定理》设G,*是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上是封闭的，则B,*必定是G,*的子群。证明：设b?B，已知*在B上封闭，则b*b?B，即b2?B，b2*b?B，即：b3?B，于是b，b2，b3……均在B中。 由于B是有限集，∴必存在正整数i和j，ij,使得：bi=bj 即：bi=bi*bj-i=bj-i*bi 由此可说明bj-i是G,*中的幺元，且这个幺元也在子集B中。如果j-i1，那么由bj-i=b*bj-i-1=bj-i-1*b可知bj-i-1是b的逆元，且bj-i-1?B；如果j-i=1，那么由bi=bi*b=b*bi可知b就是幺元,且以自身为逆元。因此，B,*是G,*的一个子群。例：设G4={p=p1,p2,p3,p4|pi?{0,1}}，?是上的二元运算，定义为：对任意X=x1,x2,x3,x4，Y=y1,y2,y3,y4?G4，X?Y=x1?y1,x2?y2,x3?y3,x4?y4，其中?的运算表如图所示：证明{0,0,0,0,1,1,1,1},?是群G4,?的子群。?01001110《定理》:设G,*是一个群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1?S，则S,*是G,*的子群。证明：先证，G中的幺元e也是S中的幺元。 任取a?S，a*a-1?S，而a*a-1＝e，∴e?S再证，每个元素都有逆元。又e*a-1?S，即a-1?S。 最后证明，*对S是封闭的。 ?a,b?S，因b-1?S，∴(b-1)-1?Sa*b=a*(b-1)-1?S，而(b-1)-1＝b∴a*b?S ∴S,*是G,*的子群。 例：设H,*和K,*都是群G,*的子群，试证明 H∩K,*也是G,*的子群。§5阿贝尔群和循环群《定义》如果群G,*中运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群（或称为交换群）。例：I,+为阿贝尔群。

由运算表可知：（1）运算是封闭的；（2）“°”可结合；（3）幺元为f0；（4）每一个元素均可逆;（5）以主对角线为对称。∴F,°为阿贝尔群。

°f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2例：离散函数代数系统F,°是阿贝尔群。F={f0,f1,f2,f3}《定理》设G,*是一个群，G,*是阿贝尔群的充分必要条件是对任一a,b?G有：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明：（1）充分性：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)?G,*是阿贝尔群。

对任意a,b?G有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)成立，∵*是可结合的，且是可消去的，∴a*(a*b)*b=a*(b*a)*b则a*b=b*a∴G,*是阿贝尔群。（2）必要性：G,*是阿贝尔群?(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。∵阿贝尔群满足交换律，对任一a,b?G有a*b=b*a，∴(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)《推论》在阿贝尔群中，对任一a,b?G有(a*b)–1=b-1*a-1