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专题04四边形的证明与计算
目录
TOC\o1-3\h\z\u热点题型归纳 1
题型01四边形与全等 1
题型02四边形与相似 7
题型03四边形边角计算 18
中考练场 36
题型01四边形与全等
【解题策略】
六个全等模型
手拉手模型
倍长中线模型
平行线中等模型
雨伞模型
【典例分析】
例1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点．
??
(1)如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若，且，
①求证：；
②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．
【答案】(1)点在线段的垂直平分线上(2)①证明见解析，②
【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出，再由各角之间的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接．利用等边三角形的判定和性质得出，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，点在线段的垂直平分线上．
理由如下：连接．
∵四边形是菱形，对角线相交于点，
．
，
，
∴点在线段的垂直平分线上．????????????
??
（2）①证明：如图，∵四边形是菱形，
，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
．
，
；
??
②如图，连接．
，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
在中，，
，
．
，，
，
．
，
，
．
在中，，
由勾股定理得，
．????????????????
??
【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
例2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．
??
(1)如图①，求证；
(2)如图②，若，过点作交于点，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等．
【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而有，从而利用即可证明结论成立；
（2）先证四边形是菱形，得，又证，得，由（）得得，根据等角的补角相等即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∵，
∴．
??
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【变式演练】
1．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形中，点分别在上，交于点；
(1)_______．
(2)在线段上截取，连接的角平分线交于点．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
（1）通过证明，得出，根据，得出，即可解答；
（2）①根据题意补全图形即可；②过点A作，交延长线于点H，连接，先证明，得出，则，再证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：①根据题意补全图形如图所示：
②证明：过点A作，交延长线于点H，连接，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，∴，
∴．
2．（2023·山东泰安·三模）已知如图，为正方形的边上任意一点，于点，在的延长线上取点，使，连接，的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)如图，若正方形的边长为，连接，当点为的中点时，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及正方形的性质即可证明；
（2）想办法证明，由，，即可解决问题；
（3）等面积法求出，证明得到，证明≌，即可推出，，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：，，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
．
（2）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
（3）解：连接．
是中点，正方形的边长为，
，，
在中，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
由（2）可知，，
，，
，，
，
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