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云南省普洱市重点中学2024届高三3月份第一次模拟考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.0
2.已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则下列结论正确的是()
A. B.复数的共轭复数是
C. D.
3.以,为直径的圆的方程是
A. B.
C. D.
4.已知函数,若关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
5.一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()
A. B. C. D.
6.若(),,则()
A.0或2 B.0 C.1或2 D.1
7.已知函数在上都存在导函数,对于任意的实数都有,当时,,若,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
8.要排出高三某班一天中,语文、数学、英语各节,自习课节的功课表,其中上午节,下午节,若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻(注意:上午第五节和下午第一节不算相邻),则不同的排法种数是()
A. B. C. D.
9.展开项中的常数项为
A.1 B.11 C.-19 D.51
10.已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记,,则a,b,c的大小关系为()
A. B. C. D.
11.若,则的虚部是()
A. B. C. D.
12.
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知是等比数列,且,,则__________,的最大值为__________.
14.利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,利用等体积法进行推导,在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值,则这个定值是______
15.在平行四边形中,已知,,,若,,则____________.
16.已知椭圆的离心率是,若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为,此时椭圆的方程是____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列的前项和和通项满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知数列中,,,求数列的前项和.
18.(12分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,证明.
19.(12分)某单位准备购买三台设备,型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中,随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台,调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数,并得到统计表如下所示.
每台设备一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8
型号A
30
30
0
频数
型号B
20
30
10
型号C
0
45
15
将调查的每种型号的设备的频率视为概率,各台设备在易耗品的使用上相互独立.
(1)求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率;
(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据,该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品?
20.(12分)已知函数有两个极值点,.
(1)求实数的取值范围;
(2)证明:.
21.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点分别为、,焦距为2,直线与椭圆交于两点(均异于椭圆的左、右顶点).当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时,四边形的面积为6.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线的斜率分别为.
①若,求证:直线过定点;
②若直线过椭圆的右焦点,试判断是否为定值,并说明理由.
22.(10分)已知数列和满足,,,,.
(Ⅰ)求与;
(Ⅱ)记数列的前项和为,且,若对,恒成立,求正整数的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由三视图还原原
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