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专题13二次函数与几何综合
目录TOC\o1-3\h\z\u
热点题型归纳 1
题型01二次函数与相似三角形综合 1
题型02特殊几何图形存在性问题 13
题型03最值问题 35
中考练场 40
题型01二次函数与相似综合
【解题策略】
二次函数图象上点的坐标特征,菱形的性质,解直角三角形,三角形相似的判定和性质,反比例函数系数k的几何意义,解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质.
【典例分析】
例.(2023·湖北随州·中考真题)如图1,平面直角坐标系中,抛物线过点,和,连接,点为抛物线上一动点,过点作轴交直线于点,交轴于点.
??
(1)直接写出抛物线和直线的解析式;
(2)如图2,连接,当为等腰三角形时,求的值;
(3)当点在运动过程中,在轴上是否存在点,使得以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似(其中点与点相对应),若存在,直接写出点和点的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式演练】
1.(2023·广西梧州·一模)如图,抛物线与轴相交于点、点,与轴交于点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图1,若点为抛物线在第三象限图象上的点,且,求点的坐标;
(3)如图2,点是抛物线上一动点,连接交线段于点当与相似时,求点D的坐标.
2.(2023·山东泰安·二模)抛物线过,,三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,抛物线上一点在线段的上方,交于点,,求点的坐标;
(3)如图②,为抛物线顶点,过作直线,点在轴上运动,是否存在这样的点、,使得以、、为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点的坐标.若不存在,请说明理由.
3.(2023·广东汕尾·二模)如图,抛物线与x轴交于A、B两点(B在A的左边),与y轴交于点,顶点为.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)如图,若点P是第二象限内抛物线上的一动点,过点P作轴于点M,交于点E,连接,是否存在点P,使得与相似?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型02特殊几何图形存在性问题
【解题策略】
考查了三角形、四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法,画出相应的图形,注意分类讨论.
【典例分析】
例1.(2023·山东淄博·中考真题)如图,一条抛物线经过的三个顶点,其中为坐标原点,点,点在第一象限内,对称轴是直线,且的面积为18
??
(1)求该抛物线对应的函数表达式;
(2)求点的坐标;
(3)设为线段的中点,为直线上的一个动点,连接,,将沿翻折,点的对应点为.问是否存在点,使得以,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
例2.(2023·西藏·中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C.
??
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图甲,在y轴上找一点D,使为等腰三角形,请直接写出点D的坐标;
(3)如图乙,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在P、Q两点使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出P、Q两点的坐标,若不存在,请说明理由.
例3.(2023·内蒙古·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点分别为和(点在点的左侧),与轴交于点,点是直线上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,过点作轴平行线交于点,过点作轴平行线交轴于点,求的最大值及点的坐标;
(3)如图2,设点为抛物线对称轴上一动点,当点,点运动时,在坐标轴上确定点,使四边形为矩形,求出所有符合条件的点的坐标.
例4.(2023·辽宁·中考真题)如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,点在抛物线上.
??
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在第一象限内,过点作轴,交于点,作轴,交抛物线于点,点在点的左侧,以线段为邻边作矩形,当矩形的周长为11时,求线段的长;
(3)点在直线上,点在平面内,当四边形是正方形时,请直接写出点的坐标.
【变式演练】
1.(2023·辽宁阜新·二模)如图,抛物线(、是常数)的顶点为,与轴交于、两点,其中,,点从点出发,在线段上以单位长度/秒的速度向点运动,运动时间为秒,过作交于点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当为何值时,的面积最大?并求出面积的最大值;
(3)点出发的同一时刻,点从点出发,在线段上以单位长度/秒的速度向点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,在运动过程中,是否存在某一时刻,使为等腰三角形,若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2023·辽宁阜新·一模)如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴,y轴分别交于点A,C,抛物线过点A和点
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