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搜索方向;求多维目标函数的极值时,假设迭代过程的出发点及搜索方向已确定,那么从出发,沿方向搜索新点的迭代格式为
?
式中,为步长因子。
选择一特定步长,使产生的新点是方向上目标函数的极小点,即
?
那么称为方向上的最优步长因子。;二维函数f(x)沿方向s的一维搜索例如;最优步长因子
在搜索方向上,使目标函数取得极小值的步长因子,称为该方向上最优步长因子。
一维搜索
沿给定搜索方向,求最优步长因子的一元函数极值问题,称为一维搜索。;解析解法;数值解法;例:;1、运用进退法确定单变量函数极小点所在的搜索区间,该区间应是单谷区间。;正向搜索外推法;中间各个试探点函数值依次减少,h0;反向搜索外推法;第一试探点函数值上升,反向以后中间
各个试探点函数值依次减少,h0;1.取初始点为第一点,前进一步,得第二点,并计算函数值.;4.比较函数值,;-;二、区间消去法原理;;一维搜索方法分类;黄金分割法的根本方法是通过不断缩小搜索区间的长度来搜索函数的极小点。在已确定的函数搜索区间内,其函数值呈现”高—低—高”的特征。通过比较搜索区间内两试点的函数值,逐步缩短搜索区间,得到一个不断缩小的区间序列,直到极小点所在区间缩小到给定的精度,取其中点作为近似极小点输出。
这种方法步骤简单,效果较好,但是计算效率偏低,是计算中常用的方法之一。;算法的关键;固定的区间收缩率区间收缩率是表示每次缩小所
得到的新区间长度与缩小前旧区间长度之比.
整理后得到一元二次方程
其解
故黄金分割法又称为0.618法。
;插入的两个试点为:;黄金分割法的搜索过程;终止判别条件;1〕.在搜索区间内取两试点,并且计算它们函数值。
2〕比较两试点函数值,缩短搜索区间.由于;3〕确定新区间
;黄金分割法的程序框图;2、函数逼近法
将搜索区间内的假设干试验点的函数值构造的低次多项式〔二次多项式〕作为函数的近似表达式,用这个多项式的极值作为原函数的极值点的近似点。;一、牛顿法〔切线法〕;几何解释;二次插值法是利用目标函数在假设干点的函数值或导数信息构造二次多项式函数来逼近原一维搜索函数,并且用插值多项式的极值点近似作为目标函数的极小点。
由于二次多项式函数的图形是抛物线,所以二次插值法又称为抛物线插值法。;在给定目标函数的初始区间内取三点,设它们的函数值分别为,满足条件和。利用原函数曲线上的、和三点构造一条抛物线
式中,是待定系数。
;求插值多项式的极值点。
待定系数由下面线性方程组得到;求解线性方程组得到插值极小点
式中;3.二次插值算法形成
把和作为在区间插入的两个试点,根据区间消去法原理,缩短区间。重复上述过程,直到满足终止条件,取较小的插入
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