数学建模第八章-小波分析.ppt

二维小波变换Haar函数的尺度函数为多分辨分析对于多分辨率而言，尺度函数与小波函数共同构

造了信号的分解。这里尺度函数可以由低通滤波

器构造，而小波函数则由高通滤波器实现。标准化的尺度函数和小波函数也可以分别表示为标准化的尺度函数和小波的两尺度方程和小波方程为取尺度函数，则与的图像一样，只不过平了个单位。令是所有形如的函数空间。取，该块的宽度是的一半，令是所有形如的函数空间。容易看出。一般地，我们有是所有形如的函数空间，而且。注：随着的增加，分辨的越来越精细，意味着随着分辨率的提高，不会损失任何信息。假如用而不是用生成，那么将不包含（因为1/2的倍数不在1/3的倍数中）。取，使得，，不断地分解下去，得到：所以中的任意可唯一分解为如下形式：。离散序列信号的小波变换原理小波变换的分解过程逆小波变换的过程小波变换的滤波器组算法该滤波器组与求平均和细节算法相对应，如果对各个滤波器进行标准化，该滤波器就可以转化为上边的标准滤波器组MATLAB工具箱中15个小波

(或小波系)的主要性质二、二维小波令表示一个二维信号，我们也期望象一维信号一样对二维信号进行不同频率的分解。即，一般的方法较难实现。如果是可分离的，即，则1.4.2二维离散小波变换为了将一维离散小波变换推广到二维，只考虑尺度函数是可分离的情况，即

f(x，y)＝f(x)f(y)

其中，f(x)是一维尺度函数，其相应的小波函数是y(x)，下列三个二维小波基是建立二维小波的基础：

y1(x，y)＝f(x)y(y)

 y2(x，y)＝y(x)f(y)

 y3(x，y)＝y(x)y(y)它们构成二维平方可积函数空间L2(R2)的正交归一基：

二维离散小波分解的过程如下：

从一幅N×N的图像f1(x，y)开始，其中上标指示尺度N是2的幂。对于j＝0，2j＝20＝1尺度，也就是原图像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率减半。在变换的每一层次，图像都被分解为四个1/4大小的图像，它们都是由原图与一个小波基图像的内积后，再经过在行和列方向进行2倍的间隔抽样而生成的。对于第一个层次(j＝1)，可写成

后续的层次(j1)，依次类推，形成如前所示的形式。因为尺度函数和小波函数都是可分离的，所以每个卷积都可分解成行和列的一维卷积。例如，在第一层，首先用h0(－x)和h1(－x)分别与图像f1(x，y)的每行作卷积并丢弃奇数列(以最左列为第0列)。接着这个N×(N/2)阵列的每列再和h0(－x)和h1(－x)相卷积，丢弃奇数行(以最上行为第0行)。结果就是该层变换所要求的四个(N/2)×(N/2)的数组，如图所示。

2.3二进小波变换离散小波变换要求对尺度参数a和平移参数b进行离散化。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格：a0＝2，b0＝1，每个网格点对应的尺度为2j，而平移为2jk。由此得到的小波

yj，k(t)＝2－j/2y(2－jt－k)(j，k∈Z)

称为二进小波(DyadicWavelet)。二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定一开始选择一个放大倍数2－j，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数，即减小j值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即增大j值。在这个意义上，小波变换被称为数学