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第九章线性泛函

1.设f，f是线性空间E上两个线性泛函，证明；若f1(0)f1(0)，

1212

则fkf.

12

如果f1(0)E，则ff0，下设f1(0)E，取xE，

11210

f(x)

f(x)0，依条件f(x)0，令k10，xE，令

1020

f(x)

20

f1(x)

xxx，则f(x)0，所以f(x)0，即

012

f(x)

10

f1(x)

f(x)f(x)0

220

f(x)

10

所以f(x)kf(x)xE

12

f(x)

即f1kf2，其中k10.

f(x)

20

2.设{xn}是赋范线性空间E中一元素列，证明yL{xn}的充分必要

条件是：对任何fE*，若f(xn)0(n1,2,)，则f(y)0.

必要性，设yL{x}，fE*，f(x)0(n1,2,)，则对xL{x}

nnn

必有f(x)＝0，现在取yL{x}，使yy，则f(y)limf(y)0.

inii

i

充分性，如果yL{xn}，则(y,L{xn})d0，根据Hahn-Banach

定理的系，存在fE*，满足1)xL{xn}f(x)0；

1

2)f(y)1；3)f，特别必存在fE*，使f(xn)0(n1,2,