指数函数与对数函数基本知识点.docVIP

对数的公理化定义

真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，

底数则要大于0且不为1

对数函数的底数为什么要大于0且不为1？

【在一个普通对数式里a0,或=1的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义:logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：logaM^n=nlogaM如果a0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于4，另一个等于-4）】

通常我们将以10为底的对数叫常用对数（commonlogarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（naturallogarithm),并且把logeN记为InN.根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

当a〉0，a≠1时，a^x=N→X=logaN。

由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

负数和零没有对数；

loga1=0logaa=1(a为常数)

对数的定义和运算性质

一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

底数则要＞0且≠1真数＞0

对数的运算性质：

当a0且a≠1时,M0,N0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n∈R）

（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A(b0且b≠1）

(5)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)证明：

设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(6)对数恒等式：a^log（a)N=N;

log（a）a^b=b

（7）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M,

log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的M为真数)=(m/n)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

对数与指数之间的关系

当a0且a≠1时,a^x=Nx=㏒(a)N

对数函数

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数图像总是通过（1，0）点。

（4）a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

对数函数的常用简略表达方式：

（1）log(a)(b)=log(a)(b)

（2）lg(b)=log(10)(b)

（3）ln(b)=log(e)(b)

对数函数的运算性质：

如果a〉0，且a不等于1,M0,N0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n属于R）

（4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)（n属于R）

对数与指数之间的关系

当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x

log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)（n属于R）

换底公式（很重要）

log(a)(