课件三角形的五心及其应用课件.ppt

·OABCDEFMNP三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。复习三角形五心的位置内心:三角形的三条角平分线的交点(即内切圆圆心).外心:三角形三边垂直平分线的交点(即外接圆圆心).重心:三角形三条中线的交点.垂心:三角形三条高线的交点.旁心:三角形的一条内角平分线与不相邻的两条外角平分线的交点(即三角形旁切圆圆心).相关结论(1)三角形的内心到三角形三边距离相等.(2)三角形的外心到三角形三个顶点距离相等.(3)三角形的重心把每条中线均分成2:1两部分.(4)直角三角形的内切圆半径r=(a+b-c);外接圆半径R=(5)三角形面积公式：S=周长r三角形各心之间的相互联系(1)等腰三角形的内心、外心、重心、垂心共线(均在对称轴上).(2)等边三角形的内心、外心、重心、垂心共点.(3)△ABC的内心o是切点△DEF的外心.(4)△ABC的外心o是中点△DEF的垂心.(5)△ABC的垂心H是垂足△DEF的内心.(6)△ABC的重心G是中点△DEF的重心.三角形各心常见应用举例例1：三条直线a、b、c分别表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可供选择的地址有几处？例2：A、B、C三个点分别表示三个学校，要建一个快餐店，使三个学校到快餐店距离相等，则快餐店应建在何处？练习1。等腰三角形底边上的高与底角的平分线的交点是等腰三角形的心。2。点P是△ABC内部一点，且△PAB,△PBC,△PAC面积相等，则点P是△ABC的心。3。⊙O与△ABC三边相交所截得的线段相等，则点O是△ABC的心。一重心三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。重心的性质1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

?2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

?3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。外心三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：

1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

2、外心到三顶点的距离相等外心O

三角形三边垂直平分线的交点钝角Δ直角Δ锐角角ΔOOO钝角Δ外心在外部直角Δ外心在斜边中点锐角Δ外心在內部外心O到三角形的三頂点距离相等

=R(外接圆半径)O钝角Δ外心在外部O直角Δ外心在斜边中点O锐角Δ外心在內部ABCABCABCO是三角形ABC的外心?ABC是鈍角?，則?BOC=360o-2?AOABC?ABC是銳角?，則?BOC=2?AOABC?ABC是鈍角?，O是三角形ABC的外心

則?BOC=360o-2?A想法一OABCOABC想法二?ABC是鈍角?，O是三角形ABC的外心

則?BOC=360o-2?A想法一OABC[證明]連?O是三角形ABC的外心?在ΔOAB、ΔOAC中=(180o-2?1)+(180o-2?2)??1=?ABO1?2=?ACO2?BOC=?3+?434=(180o-?1-?ABO)+(180o-?2-?ACO)=360o-2(?1+?2)=360o-2?A?ABC是鈍角?，O是三角形ABC的外心

則?BOC=360o-2?AOABC想法二[證明]?O是三角形ABC的外心?圓O為ΔABC的外接圓?BOC=BAC=360o-BC=360o-2?A??ABC是銳角?，O是三角形ABC的外心

則?BOC=2?A想法一BC1234A[證明]?連OAO是三角形ABC的外心??1=?3，在ΔABC中?2=?4?BOC=?5+?6在ΔOAB、ΔOAC中??56=?1+?3+?2+?4=2?3+2?4=2(?3+?4)=2?AOOABC?ABC是銳角?，O是三角形ABC的外心

則?BOC=2?A想法二[證明]?O是三角形ABC的外心?圓O為Δ