四川省乐山市2024届第三次调查研究考试理科数学试题.docx

机密★启用前（考试时间：2024年5月9日下午3：00—5：00）

乐山市高中2024届第三次调查研究考试

理科数学

（本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则集合的元素个数为（）

A．9 B．8 C．6 D．5

2．已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（）

A．2 B． C．10 D．

3．已知，且为第二象限角，则（）

A． B． C． D．

4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（）

A． B． C． D．

5．设，则（）

A．1 B． C．2024 D．

6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）

A．20 B．24 C．28 D．32

7．已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（）

A． B． C． D．

8．在区间上任取一个实数，则使函数存在两个极值点的概率为（）

A． B． C． D．

9．在中，点是边上靠近点的三等分点，若，，，则（）

A． B． C． D．

10．若，则a，b，c的大小关系是（）

A． B． C． D．

11．在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（）

A．2 B．3 C．4 D．5

12．已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，是夹角为的单位向量，若，则实数的值是______．

14．若关于，的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则的值为______．

15．函数在区间[0，m]上有且仅有3个零点，则的取值范围是______．

16．峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名．其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论：

①；②；③；④．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17．（本小题满分12分）

已知是等差数列的前项和．

（1）证明：是等差数列；

（2）设为数列的前项和，若，求．

18．（本小题满分12分）

某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．

（1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关．

科技知识达人

非科技知识达人

合计

男生

15

女生

合计

（2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望．

附：（其中）．

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

19．（本小题满分12分）

如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，、分别是椭圆的上下顶点，、分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上的动点（不与，，，重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）令，若存在，使得成立，求整数的最小值．

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）

在直角坐标系中，曲线的方程为的方程为是一条经过原点且斜率为正的直线．

（1）以坐标原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求、的极坐标方程；

（2）若与、分