多元统计分析导论.ppt

**多元统计分析导论学生：徐笑目录1.1多元统计分析1.2多元正态分布1.1多元统计分析1.1多元统计分析2.4正态分布变量的分布、独立性及边缘分布1.1多元统计分析1.1多元统计分析1.1多元统计分析1.1多元统计分析1.1多元统计分析第一章引论1.1多元统计分析构成：多元统计分析的数据是由在若干个体或对象上多组测量内容：研究不同变量之间的相依性多元正态分布就是完全由其均值向量和协方差矩阵所决定说我，所以均值向量和协方差就是一组充分统计量。多元总体的统计问题是单变量总体问题的直接类比，但是需要考虑变量间的相依性。1.2多元正态分布基于正态分布进行统计分析的一个主要原因这个概率模型可以很好地近似很多抽样总体中连续测量的分布。基于正态分布的统计理论的优点是该多元方法已经被广泛的发展并可以进行有组织和系统的研究，正态理论不仅在实际应用中需要，而且适用于严格的数学处理。第二章多元正态分布2.1引言2.2多元分布的概念对于任意一对实数（x,y）,cdf的定义为： F(x,y)=Pr{X≤x,Y≤y}绝对连续意味着上面的偏导数几乎处处存在现在考虑有P个变量,X1,X2，…XP的情形，其cdfF(X1,X2，…,XP)=Pr(X1≤x1,…XP≤xp),如果F(x1，…xp)是绝对连续的，其密度函数为2.4正态分布变量线性组合的分布，变量的独立性，边缘分布研究多元分布的意义：多元正态分布得到的边缘分布和条件分布也是正态分布的，并且多元分布的线性组合也是多元分布的，对一个分量联合分布具有正态密度的向量做非奇异线性变换，得到的分量联合分布也具有正态密度的向量。定理2.4.1设X（有p个分量）的分布是N(μ,∑),则对于非奇异阵C，Y=CX的分布是N(Cμ,C∑C)。证明：首先利用雅克比变换求出再求出雅克比行列式的值所以y的密度函数中的指数二次型是：将带入上式，得到：可以得到y的密度函数对于两个向量形式的随机变量集合和,这些变量组成一个随机向量，这些变量组成一个随机向量假设这些变量服从正态分布，其均值向量为E(X(1))=μ(1),E(X(2))=μ(2)，协方差阵为E(X(1)-μ(1))(X(1)-μ(1))=∑11,E(X(2))-μ(2)(X(2)-μ(2))=∑22,E(X(1)-μ(1))(X(2)-μ(2))=∑12.如果∑12=∑21=0，则有X(1)和X(2)相互独立。因此n(x│μ,∑)的指数中的二次型是Q=(x-μ)∑-1(x-μ)=（x(1)-μ(1)）∑-111(x(1)-μ(1))+(x(2)-μ(2))∑22-1(x(2)-μ(2))=Q1+Q2其中Q1=(X(1)-μ(1))∑-111(X(1)=μ(1)),Q2=(X(2)-μ(2))∑-122(X(2)-μ(2)).我们可以得到，所以X的概率密度函数为：X(1)的边缘分布是N(μ(1),∑11),X(2)的边缘分布是N(μ(1),∑22).定理2.4.2如果X1，…XP服从联合正态分布，则这些随机变量的一个子集和由剩余变量组成的子集相互独立的充要条件是这个自己的每一个变量和另一个子集的每一个变量的协方差为0.其中有所以条件等价于，因此如果一个变量和剩余的变量不相关，则这两个集合是相互独立的。tui推论2.4.1如果X服从分布N（μ，∑）且X的一组分量和剩余的分量不相关，则这组分量的边缘分布是正态多元分布，其均值，方差，协方差分别是μ，∑中对应的元素。Y(1)=X(1)+BX(2)Y(2)=X(2)选择B，使得Y(1)的分量和Y(2)=X(2)的分量不相关，则矩阵B必须满足下面的等式需要强调的是，不相关就一定独立的结论是依赖正态性假设的，反之一定成立。0=E(Y(1)-E(Y(1)))(Y(2)-E(Y(2)))=E(X(1)+BX(2)-E(X(1)-BE(X(2)))(X(2)-E(X(2)))=E[(X(1)