正方形和梯形讲义.docVIP

学生：科目：数学第1阶段第次课教师：董英明

课题

正方形与梯形

教学目标

掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形；

灵活运用正方形的该你那、特征、判定方法解决问题；

掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念；

掌握等腰梯形的性质与判定；

重点、难点

掌握及灵活运用正方形与梯形的性质与判定

考点及考试要求

正方形的性质和判定

梯形的性质和判定

教学内容

知识框架

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

2、正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．可以将正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

1、几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式：

类别

定义

性质

判定

面积公式

梯形

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形

中位线平行于两底且等于两底和的一半

根据定义判定

两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积

等腰梯形

两腰相等的梯形

1.两腰相等；

2.同一底上的两角相等

3.两条对角线相等

4.等腰梯形是轴对称图形

1.根据定义判定；

2.同底两角相等的梯形。

直角梯形

一腰垂直于底的梯形

具有梯形的一切性质

根据定义判定

2、解决梯形问题常用的方法：〔1〕“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形〔图1〕；

〔2〕“作高”：使两腰在两个直角三角形中〔图2〕；

〔3〕“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中〔图3〕；

〔4〕“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形〔图4〕；

〔5〕“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形〔图5〕．

图1图2图3图4图5

综上所述：解决梯形问题的根本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决。

考点一：正方形

正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。

正方形的性质：

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

性质定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，正方形的性质可归纳为以下四条：

〔1〕正方形的对边平行，并且四条边相等；

〔2〕正方形的四个角都是直角；

〔3〕正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

〔4〕正方形既是轴对称图形〔有四条对称轴〕，又是中心对称图形。

正方形的特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45度；

正方形两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，两条对角线与边的夹角也是45度。

正方形的判定：

判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形；

判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形；

定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

正方形的判定方法

正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？

典型例题

1、(2008浙江义乌)以下命题中，真命题是()

A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形

C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

〔2008广州市〕如右图，每个小正方形的边长为1，把阴影局部剪下来，

用剪下来的阴影局部拼成一个正方形，那么新正方形的边长是〔〕

AB2CD

4、〔2008佛山12〕如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，

那么∠ACP度数是°．

BC

B

C

D

A

P

5、(2008黑龙江黑河)：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交〔或它们的延长线〕于点．

当绕点旋转到时〔如图1〕，易证．

〔1〕当绕点旋转到时〔如图2〕，线段和之间有怎样的数量关系？写出猜测，并加以证明．

〔2〕当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测．

BB

B

B

M

B

C

N

C

N

M

C

N

M

图1

图2

图3

A

A

A

D

D

D

课堂练习

1、以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，那么∠FAB＝＿＿＿。

2、一个正方形的对角线长3cm，那么它的面积为＿＿＿。

3、如下图，把25个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、C、D都是小正方形的顶点，那么四边形AB