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专题08二次函数核心知识点精讲
1.二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等;
2.二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点;
3.抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题一般较难,在解答题中出现.
【知识网络】
考点一:二次函数的定义
一般地,如果(a、b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.
要点诠释:
二次函数(a≠0)的结构特征是:(1)等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.(2)二次项系数a≠0.
考点二:二次函数的图像及性质
1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线,顶点为.
2.当a>0时,抛物线的开口向上;当a<0时,抛物线的开口向下.
3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小.|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大.
②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置.c=0时,抛物线过原点;c>0时,抛物线与y轴交于正半轴;c<0时,抛物线与y轴交于负半轴.
③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置.当ab=0时,对称轴为y轴;当ab>0时,对称轴在y轴左侧;当ab<0时,对称轴在y轴的右侧.
4.抛物线的图象,可以由的图象移动而得到.
将向上移动k个单位得:.
将向左移动h个单位得:.
将先向上移动k(k>0)个单位,再向右移动h(h>0)个单位,即得函数的图象.
要点诠释:
求抛物线(a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.
考点三:二次函数的解析式
1.一般式:(a≠0).
若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为,将已知条件代入,求出a、b、c的值.
2.交点式(双根式):.
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数为,将第三点(m,n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式.
3.顶点式:.
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为,将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式.
4.对称点式:.
若已知二次函数图象上两对称点(x1,m),(x2,m),则可设所求二次函数为
,将已知条件代入,求得待定系数,最后将解析式化为一般形式.
要点诠释:
已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式:(a≠0).(由此得根与系数的关系:).
考点四、二次函数(a≠0)的图象的位置与系数a、b、c的关系
1.开口方向:a>0时,开口向上,否则开口向下.
2.对称轴:时,对称轴在y轴的右侧;当时,对称轴在y轴的左侧.
3.与x轴交点:时,有两个交点;时,有一个交点;时,没有交点.
要点诠释:
当x=1时,函数y=a+b+c;
当x=-1时,函数y=a-b+c;
当a+b+c>0时,x=1与函数图象的交点在x轴上方,否则在下方;
当a-b+c>0时,x=-1与函数图象的交点在x轴的上方,否则在下方.
考点五、二次函数的最值
1.当a>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,当时,.
2.当a<0时,抛物线有最高点,函数有最大值,当时,.
要点诠释:
在求应用问题的最值时,除求二次函数的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值范围.
【题型1:二次函数的概念】
【典例1】已知函数是二次函数,则等于(????)
A. B.2 C. D.6
1.若函数是二次函数,则的值为(????)
A.1 B.2 C. D.0
2.下列关于的函数解析式中,一定为二次函数的是(????)
A. B. C. D.
3.关于x的函数是二次函数,则m的值为(????)
A.1 B. C.1或 D.0
【题型2:二次函数的图象及性质的应用】
【典例2】已知,则二次函数的图象可能是(????)
A. B.
C. D.
1.二次函数的图象可能是(????)
A. B.
C. D.
2.当时,二次函数的最大值是1,则实数m的值为(????)
A.0或1 B.或0 C.2或 D.或3
3.二次函数,在的范围内有最小值,则的值是(?????)
A.3 B.4 C.5 D.7
4.如图,抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A,B,点A在y轴上,则的值为(???)
A. B. C. D.
【题型3:求二次函数的解析式】
【典例3】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形,如果设剩余
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