专题25 几何探究以四边形的性质为背景（动点、平移、旋转、折叠）（解析版）.docxVIP

专题25几何探究以四边形的性质为背景

（动点、平移、旋转、折叠）

1．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：

操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；

操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．

??

(1)如图1，当点M在上时，___________度；

(2)改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)30

(2)，理由见解析

【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出；

（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出．

【详解】（1）解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，

∴，．

∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，

∴．

在中，，

∴．

故答案为：．

（2）解：结论：，理由如下：

∵四边形是正方形，

，．

由折叠可得：，，

，．

又，

，

∴．

【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．

2．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．

??

(1)如图1，求边上的高的长．

(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．

①如图2，当点落在射线上时，求的长．

②当是直角三角形时，求的长．

【答案】(1)8

(2)①；②或

【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；

（2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；

②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．

【详解】（1）在中，，

在中，．

（2）①如图1，作于点，由（1）得，，则，

作交延长线于点，则，

??

∴．

∵

∴．

由旋转知，

∴．

设，则．

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

∴．

②由旋转得，，

又因为，所以．

情况一：当以为直角顶点时，如图2．

??

∵，

∴落在线段延长线上．

∵，

∴，

由（1）知，，

∴．

情况二：当以为直角顶点时，如图3．

??

设与射线的交点为，

作于点．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴．

设，则，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

化简得，

解得，

∴．

情况三：当以为直角顶点时，

点落在的延长线上，不符合题意．

综上所述，或．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．

3．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]

如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．

??

①求证：；

②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究与的数量关系，并说明理由．

（2）[迁移探究]

如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．

??

【答案】（1）①见解析；②不变化，，理由见解析；③，理由见解析

（2），理由见解析

【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；

②作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明，得出，进而可得结论；

③作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论；

（2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论．

【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴；

②的大小不发生变化，；

证明：作，垂足分别为点M、N，如图，

??

∵四边形是正方形，

∴，，

∴四边形是矩形，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即；

③；

证明：作交于点E，作于点F，如图，

??????

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，四边形是矩形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

作于点M，

则，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）；

证明：∵四边形是菱形，，

∴，

∴是等边三角形，垂直平分，

∴，

∵，

∴，

作交于点E，交于点G，如图，

则四边形是平行四边形，，，

∴，都是等边三角形，

∴，

????

作于点M，则，

∴，

∴．

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．

4．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探