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习题解答_现代控制理论_第5章

现代控制理论第5章习题解答

第1题：

根据系统的传递函数

$$

G(s)=\frac{4}{(1+s)(2+s)}

$$

计算其单位脉冲响应。

解答：

单位脉冲响应等于系统的输出对单位脉冲输入的响应，即我们需要计算传递函数的单位脉冲响应。

传递函数的分子为4，分母为(1+s)(2+s)。

首先要计算分母部分的零点，分母可以写为：

$$

(1+s)(2+s)=(1+s)(s+2)=s^2+3s+2

$$

令分母为零，可得s的两个零点为-1和-2。

为了计算单位脉冲响应，我们可以将传递函数分解为部分分式的形式：

$$

G(s)=\frac{A}{1+s}+\frac{B}{2+s}

$$

其中A和B是待求的常数。

将传递函数的分子展开进行配凑：

$$

A(2+s)+B(1+s)=4

$$

当s等于-1时，上式左边为0，所以可得：

$$

A(2-1)+B(1-1)=0

A+B=0

A=-B

$$

当s等于-2时，上式左边为0，所以可得：

$$

A(2-2)+B(1-2)=0

-A+B=0

A=B

$$

由以上两个方程联立解得A=B=0。

所以，传递函数可以简化为：

$$

G(s)=\frac{A}{1+s}+\frac{B}{2+s}=0

$$

根据单位脉冲响应的定义，单位脉冲函数为：

$$

\delta(t)=

\begin{cases}

1,t=0\\

0,t\neq0

\end{cases}

$$

单位脉冲响应为传递函数与单位脉冲函数的卷积积分。

由于传递函数为零，所以单位脉冲响应为零。

第2题：

下列信号都是系统x(t)的零输入响应，它们分别表示什么类型的输入？

1.$e^{-t}\cos(2t)$

2.$t^2e^{-2t}$

3.$\sin(t)+\cos(t)$

4.$2+3t+t^2$

解答：

零输入响应指的是系统的输出是由初始条件决定的，而不受输入信号的影响。根据给定的信号，我们可以判断每个信号与零输入响应之间的关系。

1.$e^{-t}\cos(2t)$：这是一个指数衰减的余弦信号，表示振幅逐渐衰减的振荡信号。这种信号在零输入响应中可能代表一个后续振荡的响应，但具体的系统会因为不同的初始条件而有所不同。

2.$t^2e^{-2t}$：这是一个随时间指数衰减的二次函数信号，表示一个初始振幅很高且随时间逐渐减小的响应。在零输入响应中，这种信号可能代表系统的初始振荡响应。

3.$\sin(t)+\cos(t)$：这是一个正弦和余弦信号相加的组合信号，表示一个复杂的周期性振荡响应。在零输入响应中，这种信号可能代表系统的初始周期性响应。

4.$2+3t+t^2$：这是一个二次函数信号，表示一个直线加上一个抛物线形状的响应。在零输入响应中，这种信号可能代表系统的初始直线或者平滑的变化响应。

需要注意的是，每个系统对于零输入响应的响应方式可能不同，所以只通过信号无法完全确定零输入响应的类型，还需要了解具体的系统特性和初始条件。

第3题：

对于以下状态空间表示的线性时不变系统：

$$

\begin{cases}

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\

y(t)=Cx(t)+Du(t)

\end{cases}

$$

设计一个观测器来估计系统状态。

解答：

为了设计一个观测器来估计系统状态，我们需要确定观测器增益矩阵L。观测器的状态方程为：

$$

\dot{\hat{x}}(t)=A\hat{x}(t)+Bu(t)+L(y(t)-C\hat{x}(t))

$$

其中，$\hat{x}(t)$表示估计的状态向量。

我们可以将观测器的状态误差定义为$e(t)=x(t)-\hat{x}(t)$，其中，x(t)为实际系统的状态向量。

将状态误差代入观测器的状态方程中，并将该方程变换成误差方程：

$$

\dot{e}(t)=(A-LC)e(t)

$$

为了使观测器能够准确估计系统状态，我们希望误差$e(t)$能够逐渐趋于零。根据线性时不变系统的性质，我们知道，当悬停矩阵(A-LC)的特征值均具有负实部时，误差$e(t)$将逐渐趋于零。

因此，我们要根据A、B和C的值来确定矩阵L的值，以保证悬停矩阵(A-LC)的特征值都为负实部。

具体的设计过程可以使用极点配置的方法，通过选择合适的极点来确定矩阵L的值。我们可以使用Matlab等软件进行计算。

因此，设计一个观测器来估计系统状态的具体步骤如下：

1.根据系统的状态方程和输出方程，得到矩阵A、B和C的值。

2.选择一组适当的极点。

3.使用极点配置的方法，计算出矩阵L的值。

4.将矩阵L的值代入观测器的状态方程中，得到完整的观测器方程。

通过以上步骤，我们可以设计一个观测器来估计系统的状态。观测器的输出$\hat