2024届高考数学专项马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）含答案.docx

1/13

2024届高考数学专项马尔科夫链(与数列结合的

概率递推问题)含答案

马尔科夫链(与数列结合的概率递推问题)

如果要评选出2023年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023年新

高考1卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第21题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押

题卷”挽回了一些颜面。

2023年新高考1卷第21题的投篮问题是马尔可夫链：再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链：再往更前的2019年全国1卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教A版选择性必修三P91页拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔

科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式(新人教A版选择性必修三P49页),可想而知，

未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中!因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中

的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。

知识点·梳理

基本原理

虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于

整点处，在时刻t=0时，位于点x=i(i∈N*),下一个时刻，它将以概率α或者β

(a∈(0,D),α+β=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态X表示：在时刻t该点位于位置

x=i(i∈N*),那么由全概率公式可得：

P(X)=P(X,)·P(X|X)+P(X,)·P(X|X,m)

另一方面，由于P(X|X)=β,P(X|X)=α,代入上式可得：

P=a·P+β·P

进一步，我们假设在x=0与x=m(m0,m∈N*)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游

走.于是，P=0,Pm=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a,原地不动，其概率为b,向右

平移一个单位，其概率为C,那么根据全概率公式可得：

P=aP+bP+cP

高考真题·回顾

2/13

2023·新高考I卷T21

1.乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1

次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

则(3)已知：若随机变量X,服从两点分布，且P(X,=1)=1-P(X?=0)=q,i=1,2,…,n,

则

.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).

3/13

2019·全国I卷

2.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药，一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白

鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率

分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列.

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，P,(i=0,1,2,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲

药比乙药更有效”的概率，则P?=0,P?=1,P=ap-+bp,+cP?+(i=1,2…7),

其中a=P(X=-1),

b=P(X=0)c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

①证明：{P+-P,](i=0,1,2,…,7)为等比数列；

②求P?,并根据P?的值解释这种试验方案的合