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2023年广东省广州市各区中考数学一模考试几何图形压轴题汇总
越秀区2023年一模
25.如图,已知是等边三角形,,点D为的中点,点E,F分别为边,上的动点(点E不与B,C重合),且.
(1)求的取值范围;
(2)若,求的长;
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)取得最小值是,见解析
【解析】
【分析】(1)根据题中条件求解即可;
(2)过点D作,过点F作,证明即可求解;
(3)连接,过点F作,过点C作且,证明,再结合题中条件即可求得答案.
【小问1详解】
解:∵是等边三角形,,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:过点D作,过点F作,如图所示,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
设,
∵,
∴,
∵点D为的中点,,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴
∵
∴,,,
∵,
∴,即,
解得:,
即;
【小问3详解】
解:连接,过点F作,过点C作且,
在和中,
∵是等边三角形,点D为的中点,
∴
∵,,
∴,
∴,
设,
由(2)知,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
当且仅当B、F、K三点共线时取等号,即取得最小值,
过点K作交的延长线于点M,
∵,,
∴,,
∴,
在中,,
∴,
即取得最小值是.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,正确作出辅助线是解题关键.
海珠区2023年一模
24.如图1,中,,边上找一点,以为半径作圆.分别交,于点,.是的切线.且,,
(1)证明:
(2)求的面积;
(3)如图2,过点作的平行线交点于点,为劣弧上一动点,连接,在上取点,使得,连接交于,求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)如图所示,连接,由切线的性质得到,再根据等边对等角得到,由三角形内角和定理得到,即可证明;
(2)如图所示,连接,过点A作于N,交于M,由勾股定理得;由(1)得,则,,证明,求出,由直角三角形斜边上的中线的性质得到,则;同理可证,求出,由勾股定理得,则;
(3)过点F作于Q,由(2)得M是的中点,,则,可得都在以M为圆心,以为直径的圆上,再导角证明,即点F也在以为直径的上,证明,得到;证明,求出,则,故当最大时,才有最大值;如图所示,过点M作于G,先求出,则,由,得到,则的最大值为.
【小问1详解】
证明,如图所示,连接,
∵是的切线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:如图所示,连接,过点A作于N,交于M,
∵为的直径,
∴,
在中,由勾股定理得;
由(1)得,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,点M为的中点,
在,,
∴,
∴,
同理可证,
∴,即,
又∵,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
∴;
【小问3详解】
解:过点F作于Q,
由(2)得M是的中点,
∴在中,,
∴
∴都在以M为圆心,以为直径圆上,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,即,
∴点F也在以为直径的上,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴;
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴当最大时,才有最大值,
如图所示,过点M作于G,
∴,
在中,,
∵点F在劣弧上,,
∴,
∴的最大值为.
【点睛】本题主要考查了切线的性质,四点共圆,直角三角形斜边上的中线的性质,等腰三角形的性质与判定,勾股定理,相似三角形的性质与判定,垂径定理等等,正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
荔湾区2023年一模
24.如图,四边形中,,,连接,总有.
(1)求的度数;
(2)点F是线段的中点,连接.
①写出线段之间的数量关系,并给出证明;
②延长相交于点N,连接,若,求线段长度的最小值.
【答案】(1);
(2)①,理由见解析;②线段长度的最小值为2.
【解析】
【分析】(1)由已知求得,推出,利用三角形内角和定理即可求解;
(2)①延长至点P,使,连接,延长至点Q,使,由三角形中位线定理得到,,推出和是等边三角形,证明,据此即可得到;
②证明是等边三角形,推出是定角,点N在以为弦,所对圆周角为的一段弧上,当在同一直线上时,有最小值为,解直角三角形即可求解.
【小问1详解】
解:连接,
∵,,
∴,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:①,理由如下,
延长至点P,使,连接,延长至点Q,使,连接,
∵,点F是线段的中点,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴是等边三角形,
∴,,
∴,
和中,
,
∴,
∴,
∴;
②由①得,,
∴,,
∴,
∴,,
∴是等边三角形,
∴是定角,
∴点N在以为弦,所对圆周角为的一段弧上,如图,
∴在中,有,
∴当在同一直线上时,有最小值为,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴线段长度的最小值为2.
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