九年级数学上册同步精品讲义（人教版）第11课 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（教师版）.docxVIP

第11课二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

课程标准

（1）会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；

（2）通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；

（3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．

知识点01二次函数与之间的相互关系

1．顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．

2．一般式化成顶点式

．

对照，可知，．

∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．

【注意】

1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．

2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

知识点02二次函数的图象的画法

1．一般方法

列表、描点、连线

2．简易画法：五点定形法

步骤：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．

(2)求抛物线与坐标轴的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．

【注意】

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

知识点03二次函数的图象与性质

1．二次函数图象与性质

函数

二次函数(a、b、c为常数，a≠0)

图象

开口方向

向上

向下

对称轴

直线

直线

顶点坐标

增减性

在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增

在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减

最大(小)值

抛物线有最低点，当时，y有最小值，

抛物线有最高点，当时，y有最大值，

2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系

项目

字母

字母的符号

图象的特征

a

a＞0

开口向上

a＜0

开口向下

b

ab＞0(a，b同号)

对称轴在y轴左侧

ab＜0(a，b异号)

对称轴在y轴右侧

c

c=0

图象过原点

c＞0

与y轴正半轴相交

c＜0

与y轴负半轴相交

b2-4ac

b2-4ac=0

与x轴有唯一交点

b2-4ac＞0

与x轴有两个交点

b2-4ac＜0

与x轴没有交点

知识点04求二次函数的最大（小）值的方法

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．

【注意】

如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．

考法01二次函数的图象与性质

【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（???????）

A．③④ B．①② C．②③ D．②③④

【答案】C

【详解】解：①由图象可知：，，

由对称轴可知：，

∴，

∴，故①错误；

②由对称轴可知：，

∴，

∵抛物线过点，

∴，

∴，

∴，故②正确；

③由对称轴为直线，抛物线过点，

∴抛物线与x轴的另一个交点为，

∴的两个根是，，故③正确；

④由图象可知，当时，，

∴，故④错误；

故选：C．

【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（?????）

A． B．

C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小

【答案】C

【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．

抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．

抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．

抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．

故选C

【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（???????）

A．第一或第四象限 B．第三或第四象限

C．第一或第二象限 D．第二或第三象限

【答案】A

【详解】解：∵4a-2b+