(3)--3.1 算符及其基本运算.ppt

1§3.1力学量的算符表示一、力学量的平均值与算符的关系二、力学量的可能值与算符的关系三、量子力学中力学量算符的构成规则

2§3.1力学量的算符表示[引]量子力学量特点：任何状态下，一般具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。经典力学量特点：任何状态下，都有确定解。力学量如何表示?

3§3.1力学量的算符表示一、力学量的平均值与算符的关系1.坐标的平均值同理：∵粒子处于处的几率密度：∴

42.势能平均值：3．动量的平均值：粒子动量几率密度：粒子动量平均值：x分量：（以一维情况为例）

坐标算符在动量表象中的平均值公式

动量算符在不同表象中的平均值公式

7同理：推广至三维情况计算平均值的一个新的数学工具——算符一般地，粒子的任何一个力学量A的平均值：

8结论Ⅰ：量子力学中力学量的平均值〈A〉与相应的算符对应

9二、力学量的可能值与算符的关系一维无限深势阱中运动粒子能量的可能值即为相应算符的本征值能量可能值

10结论Ⅱ：力学量F的可能值与相应算符的本征值对应量子力学中力学量与力学量算符的这种对应关系称之为：基本假定：如果力学量F的相应算符为，则力学量F的可能值即为的本征值，当系统处于的本征态时，力学量F有确定值，亦即在Ψ态中的本征值。F)F)F)F)力学量算符表示力学量。FF?)

11三、量子力学中力学量算符的构成规则例：角动量角动量算符如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将r,p换成相应的算符而构成。F)

12§3.2算符的一般性质一、算符的一般定义及性质二、力学量的算符应是线性、厄米算符

13§3.2算符的一般性质一、算符的一般定义及性质2．一般性质（1）线性算符：满足运算规则(yyyFcFcccF)))+=+算符F称为线性算符，C1，C2是任意常数。例：——动量算符是线性算符?-=h)viP1．定义：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号vuF=)

14（2）算符之和：两算符与之和定义为：满足：加法交换律加法结合律（3）算符之积：两算符与之积定义为：一般则称两算符是对易的若即

15（4）逆算符：设能唯一的解出，则定义F)的逆算符为：（5）算符的转量、复共轭及厄米共轭量子系统任意两波函数的标积：①算符的转置算符或可以证明

16[例题]求动量的转置算符所以②算符的复共轭算符：把算符中的所有复量换成共轭复量如：动量的复共轭算符解：

17③厄米共轭算符：定义（6）么正算符：（7）厄米算符则称为么正算符若或可以证明

18注：②平均值为实数的算符必为厄米算符。③厄米算符的本征值必为实数。①厄米算符的平均值都是实数是实数。∴设

19[例题]证明动量算符是厄米算符解：因为所以或

20二、力学量的算符应是线性、厄米算符1．线性：态迭加原理的要求2．厄米性：因力学量的可能值为相应算符的本征值，且应为实数，而厄米算符的本征值定为实数。结论：量子力学中表示力学量的算符应该为线性厄米算符

21§3.3动量算符和角动量算符一、动量算符二、角动量算符

22§3．3动量算符和角动量算符一、动量算符本征值方程：三个分量方程：解之得:

23归一化常数的确定：动量的本征函数

xyzAA’oL箱归一化在箱子边界的对应点A,A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件这表明，px只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。

所以c=L-3/2，归一化的本征函数为：这时归一化系数c可由归一化条件来确定：

讨论：（1）由px=2nx??/L,py=2ny??/L,pz=2nz??/L,可以看出，相邻两本征值的间隔?p=2??/L与L 成反比。当L选的足够大时，本征值间隔可任意小，当L??时，本征值变成为连续谱。（2）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为