专题22 胡不归模型（解析版）.docxVIP

胡不归模型

一、知识导航

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

【问题分析】

，记，

即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

二、典例精析

如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．

【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：

则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

三、中考真题演练

1．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．

???

(1)求抛物线的表达式；

(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．

【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；

（3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解．

【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，

∴，

∵对称轴为，

∴，，

∴抛物线的解析式为；

（3）设所在直线的解析式为，

把B、C坐标代入得：，

解得，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴直线与x轴所成夹角为，

设，

设所在直线的解析式为：，

把点P代入得，

∴，

令，则，

解得，

∴

∴

∵点P在直线上方，

∴，

∴当时，的最大值为．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键．

2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

??

(1)求抛物线和一次函数的解析式．

(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．

【详解】（1）解：把，，代入

得????

解得????

∴????

把代入得

∴

（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线

当，即

解得：

∴，

∵过，，三点

∴????

在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点

??

∵，

∴

∴是等腰直角三角形

∵，

∴

又

∴是等腰直角三角形

∴

∵点在抛物线上，且横坐标为

∴

∴????

∵

∴

∴

∴????

∴

∴当时，的最大值为．

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．

??

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；

【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；

（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从