《工程数学》第5章 多元函数微分学 课件.pptx

N维欧氏空间点集的初步知识;一、n维欧氏空间;的距离记作;三、平面点集R2的基本知识;说明：若不需要强调邻域半径?,也可写成;;(2)聚点;;例如，在平面上;?整个平面;N维欧氏空间点集的初步知识;本章将研究一种特殊的集合——空间中的点集。

所谓空间，是一类具有某种结构的集合，往往成为数学研究的载体和对象。

分析学科所关心的空间的结构包括度量、范数、开集、闭集等。

本章的主要内容为度量空间，特别是n维欧氏空间中的各类点集，这将为我们研究新的积分奠定基础。;1.度量空间与n维欧氏空间;度量空间中点集的一些基本概念——邻域;点列的极限;点集的直径：;度量空间中点集的一些基本概念——区间;2.度量空间中的各类点集;点集间的关系;聚点;开核、边界、导集、闭包;重要性质;开集和闭集;有界闭集和紧集;开域、闭域、区域;*自密集、完备集、稠密集、疏朗集;※举例讨论上述点集的性质;的点.由此推知在;证下面按循环流程图来分别作出证明.;综合起来,便证得;注此例指出了如下两个重要结论:;例3以下两种说法在一般情形下为什么是错的?;开域,故S不是闭域(不符合闭域的定义).;显然不符合它为闭域的定义.;复习思考题;;多元函数的极限与连续性;二元函数;定义2设平面点集,若按照某对应法则f,;与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称;例1函数;;※若二元函数的值域是有界数集,则称函数;例5设函数(此函数在以后还有特殊用处);当;;;n元函数;也常写成;多元函数的极限与连续性;与一元函数的极限相类似，二元函数的极限;一、二重极限;当P,;不妨先限制在点(2,1)的方邻域;当;例2设;可知;因为;都有;推论1若;推论3极限;时，由于;如图16-15所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,;时的极限为0.因为当(x,y)沿抛物线;第一条路径简单地取;这就达到了预期的目的．;或;68;因;;二、累次极限;如果进一步还存在极限;类似地可以定义先对y后对x的累次极限:;从而又有;当沿斜率不同的直线;例９设;下述定理告诉我们:重极限与累次极???在一定条件;的x,存在极限;由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.;请注意:(i)定理2保证了在重极限与一个累次;例10设;证;根据柯西准则,证得;又有;注本例给出了二累次极限相等的又一充分条件.与;复习思考题;87;;;;;;;;;;;;;多元函数的极限与连续性;一、二元函数的连续性;由上述定义知道:若是D的孤立点,则必定是;给出的函数在原点不连续.又若把上述例3的函数;在坐标原点的连续性．;续;而当;时,f在点连续.;若一个偏增量的极限为零,如;在原点处显然不连续,但由于f(0,y)=f(x,0)=0,;(ii)对其中一个变量(x)的连续关于另一个变量(y);又当;(ii);这就证得;定理1(复合函数的连续性)设函数;时,有;二、有界闭域上连续函数的性质;于是得到一个有界点列;,使;定理2(一致连续性定理)若函数f在有界闭域;相应的;这与;易见F仍在D上连续,且由(4)式知道;由于D为区域,我们可以用有限段都在D中的折线;在此直线段上,F变为关于t的复合函数：;有连通性的.;证由定理2知道;这就证得;偏导数;一、偏导数的定义及其计算法;129;130;偏导数的概念可以推广到二元以上函数;解;证;解;不存在．;证;有关偏导数的几点说明：;３、偏导数存在与连续的关系;4、偏导数的几何意义;几何意义:;纯偏导;解;原函数图形;;问题：;解;偏导数的定义;思考题;思考题解答;练习题;151;152;练习题答案;154;155;全微分;;全增量的概念;全微分的定义;事实上;二、可微的条件;证;一元函数在某点的导数存在微分存在．;则;说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全