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专题15相似三角形
一.选择题
1.(2024·湖南衡阳)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(???????)(结果精确到.参考数据:,,)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为xm,由黄金分割的定义得求解即可.
【详解】解:设雕像的下部高为xm,则上部长为(2-x)m,
∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,雷锋雕像为2m,
∴???∴,即该雕像的下部设计高度约是1.24m,故选:B.
【点睛】本题考查了黄金分割的定义,熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键.
2.(2024·山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的(???????)
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解.
【详解】解:动物学家在鹦鹉螺外壳上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的黄金分割.故选:D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义,黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为,约等于0.618,这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割.熟知黄金分割的定义是解题关键.
3.(2024·浙江丽水)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段,则线段的长是(???????)
A. B.1 C. D.2
【答案】C
【分析】过点作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线,分别于、,根据题意得,然后利用平行线分线段成比例定理即可求解.
【详解】解:过点作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线,分别于、,
根据题意得,∵,∴,又∵,∴故选:C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用,作出适当的辅助线是解题的关键.
4.(2024·湖南湘潭)在中(如图),点、分别为、的中点,则(???????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】证出是的中位线,由三角形中位线定理得出,,证出,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论.
【详解】解:点、分别为、的中点,是的中位线,,,
,.故选:D.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理;熟练掌握三角形中位线定理,证明三角形相似是解决问题的关键.
5.(2024·浙江绍兴)将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片,其中,,,,,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(???????)
A. B. C.10 D.
【答案】A
【分析】根据题意,画出相应的图形,然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法,求出剪掉的两个直角三角形的斜边长,然后即可判断哪个选项符合题意.
【详解】解:当△DFE∽△ECB时,如图,
∴,设DF=x,CE=y,∴,解得:,
∴,故B选项不符合题意;
∴,故选项D不符合题意;
如图,当△DCF∽△FEB时,∴,设FC=m,FD=n,
∴,解得:,∴FD=10,故选项C不符合题意;
,故选项A符合题意;故选:A
【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形性质,解答本题的关键是明确题意,利用分类讨论的方法解答.
6.(2024·甘肃武威)若,,,则(?????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据△ABC∽△DEF,可以得到然后根据BC=6,EF=4,即可求解.
【详解】解:∵∴
,,故选D
【点睛】本题考查了相似三角形的性质,掌握相似三角形的性质是解题的关键.
7.(2024·云南)如图,在ABC中,D、E分别为线段BC、BA的中点,设ABC的面积为S,EBD的面积为S.则=(???????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先判定,得到相似比为,再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方,据此解题即可.
【详解】解:∵D、E分别为线段BC、BA的中点,∴,
又∵,∴,相似比为,
∴,故选:B.
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
8.(2024·浙江舟山)如图,在和中,,点A在边的中点上,若,,连结,则的长为(???????)
A. B. C.4 D.
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥BC,交CB延长线于点F,过点A作AG⊥BE于点G,根据等腰直角三角形的
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