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2024年高考适应性练习
数学
注意事项:
1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰;超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若随机变量,且,则()
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
3.若抛物线的焦点到直线的距离为4,则的值为()
A.1 B.2 C.4 D.8
4.已知,若是的充分不必要条件,则()
A. B. C. D.
5.展开式中的系数为()
A.-840 B.-420 C.420 D.840
6.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,若为图象的一条对称轴,则的最小值为()
A. B. C. D.
7.在中,交于点,则()
A. B. C. D.
8.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数,且与互质的正整数的个数,例如.已知,,是数列的前项和,若恒成立,
则的最小值为()
A. B.1 C. D.2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知函数,则()
A.是奇函数 B.的最小正周期为
C.的最小值为 D.在上单调递增
10.已知双曲线的离心率为,过其右焦点的直线与交于点,下列结论正确的是()
A.若,则
B.的最小值为
C.若满足的直线恰有一条,则
D.若满足的直线恰有三条,则
11.如图,在直三棱柱中,,分别为棱
上的动点,且,,,则
A.存在使得
B.存在使得平面
C.若长度为定值,则时三棱雉体积最大
D.当时,直线与所成角的余弦值的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知集合,若,则实数的值为______.
13.在中,内角的对边分别为,,且,则面积的最大值为______.
14.当时,,则实数的取值范围为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知是公差不为0的等差数列,其前4项和为16,且成等比数列。
(1)求数列的通项公式:
(2)设,求数列的前项和。
16.(15分)ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具,引领了人工智能的新一轮创新浪潮。某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系,从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查,并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图。
(1)根据频率分布直方图,估计年龄样本数据的分位数:
(2)将年龄不超过(1)中分位数的居民视为青年居民,否则视为非青年居民。
(i)完成下列列联表,并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联?
青年
非青年
合计
喜欢
20
不喜欢
60
合计
200
(ii)按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民。若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查,求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率。
参考公式:,其中.
参考数据:
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
17.(15分)如图,在三棱锥中,,为的中点,为内部一点且平面.
(1)证明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值。
18.(17分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求实数的取值范围。
19.(17分)已知椭圆的右焦点为,过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点,在两点处的切线交于点.
(1)求证:点在定直线上,并求出该直线方程;
(2)设点为直线上一点,且,求的最小值。
2024年高考适应性练习
数学参考答案及评分标准
一、选择题
DBCA CBCA
二、选择题
9.AC 10.ACD 11.BCD
三、填空题
12.1或2 13. 14.
四、解答题
15.解:(1)由题意知
即,
因为,所以,
所以.
(2)设数列的前项中的奇数项之和为,偶数项之和为,则
所以.
16.解:(1)由频率分布直方图可知,
年龄在40岁以下的居民所占比例为,
年龄在50岁以下的居民所占比例为,
所以分位数位于内,
由,
所以,样本数据的分位数为45.
(2)(i)由题知,列联表为:
青年
非青年
合计
喜欢
90
20
110
不喜欢
60
30
90
合计
150
50
200
根据列联表中的数据,可得:
所以,有的把握认
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