2024（新教材）【人教A版】20版必修二1向量的数量积.pdfVIP

第六章

向量的数量积

人教版高中数学必修二

学习目标

1.知道平面向量数量积的定义的产生过程，掌握其定义及其几何意义；

2.体会平面向量数量积与向量投影的关系；

3.能够由定义探究平面向量数量积的重要性质和运算律;

4.会用数量积的夹角判断两个平面向量的垂直、共线关系；

学习重点

1.数量积的定义，向量模和夹角的计算方法

学习难点

1.向量的数量积的几何意义

回顾旧知

1.平面向量的模的定义2.平面向量的加减法运算法则，

运算结果是什么3.平面向量的数乘运算规则及运算结果

是什么

新知探究

θ

新知探究

2.怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？

3.在方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？

4.向量数量积的性质有哪些？

5.向量数量积的运算律有哪些？

新知探究

（1）已知两个非零向量，O为平面上任意一点（如图所示），作，则

A叫做的夹角

（2）当时，同向；当时，，反向

（3）当时，垂直，即

新知探究

2.怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？

已知两个非零向量他们的夹角为θ我们把数量叫做的数

量积（或内积），记作：，即

注意：不能写成或的形式。

新知探究

（1）叫作向量方向上的射影。

注意：射影也是一个数量，不是向量。

（2）数量积的几何意义：是的模与方向上的投影的乘积，也

等于的模与方向上的投影的乘积，与方向上的投影是不

同的

新知探究

4.向量数量积的性质有哪些？

（1）是单位向量，

（2）

（3）

（4）

（5）

新知探究

5.向量数量积的运算律有哪些？

已知向量和实数λ，则：

（1）.交换律：

（2）.数乘结合律：

（3）.分配律：

新知探究

例1：若，

（1）当，求

（2）向量与向量的夹角的夹角120度，求

（3）当，求

（2）向量与向量的夹角的夹角60度，求向量

在向量方向上的投影

新知探究

例1：若，

（1）当，求

解：（1）当，若同向，则的夹角为0度

所以

新知探究

解：（1）当，若同向，则的夹角为0度

所以

若反向，则的夹角为180度

所以

（2）当的夹角为120度时，

（3）当a⊥b时，的夹角为90度，

（4）向量在向量方向上的投影：

随堂练习1

A