1-8闭区间上连续函数的性质.pdf

第八节第一章

第八节

闭区间上连续函数的性质

一、最大值和最小值定理

二、介值定理

三、一致连续性定理*

机动目录上页下页返回结束

一、最值定理

对于在区间I上有定义的函数fx

定义:(),

如果有∈使得对于任一∈都有

xI0,xI

f(x)f(x)(f(x)f(x))≤0≥0

fx(f)x则称(I)0是函数在区间上的最大()小.值

()x例x[f]x−在上有最小值(0)f0，但

[0,1]

没有最大值；(x)fnxsg(0,在)+∞上最大值最小值

都是(1，在,)−∞+∞上最大值是1，最小值是−1

机动目录上页下页返回结束

定理1(最值定理)：在闭区间上连续的函数在该

区间上一定有最大值和最小值。

即:若,[∃,ξ],ξ∈ab

()[,f],x∈Cab则12使

()min(f)ξfx，(证明略)

1()max(f)ξ2fx

ax≤b≤ax≤b≤

推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界。

证明:设由定理1可知有

()[,f],x∈Cab

y

maxM(),fxminm()fxyfx()

xa[b,∈]xa[b,∈]M

故[∀x,∈a],bm有(f)≤,x≤M

m

()因此[,f]x在ab上有界。oaξ1ξ2bx

机动目录上页下页返回结束

注意:

若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断点，

定理1不一定成立。