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概率分布列期望专题

一、答题与有奖竞猜问题

例：甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢得一分，

答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人答复正确与否相互之间没有影响。用ε表示甲队的总得分。

〔Ⅰ〕求随机变量ε分布列和数学期望；

〔Ⅱ〕用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

所以ε的分布列为

ε

0

1

2

3

P

ε的数学期望为

Eε=

解法二：根据题设可知

因此ε的分布列为

〔Ⅱ〕解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

由互斥事件的概率公式得

解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事

P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).

练习：1某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规那么如下：

每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

每答复一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍缺乏14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍缺乏14分时，答题结束，淘汰出局；

每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.

假设甲同学对问题答复正确的概率依次为，且各题答复正确与否相互之间没有影响.

(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；

〔Ⅱ〕用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.

解：设表示甲同学第个问题答复正确，用表示甲同学第个问题答复错误，那么与是对立事件.由题意得

所以

〔Ⅰ〕记“甲同学能进入下一轮”为事件，

那么

〔Ⅱ〕由题意，随机变量的可能取值为：.

由于每题答题结果相互独立，所以

因此随机变量的分布列为

所以，.

2投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．假设能通过两位初审专家的评审，

那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评

审，那么再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否那么不予录

用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．

各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望

解：(Ⅰ)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

D表示事件：稿件被录用.

那么D=A+B·C,

=

=

=0.40.

〔II〕，其分布列为：

期望.

二、有关保险问题

例：根据以往统计资料，某地车主购置甲种保险的概率为0.5，购置乙种保险但不购置甲种保险的概率为0.3，设各车主购置保险相互独立。

(Ⅰ)求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率；;

(Ⅱ)求该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数，求X的期望。

解：〔1〕设该车主购置乙种保险的概率为p,由题意知：，解得。

设所求概率为P1，那么.

故该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。

〔2〕对每位车主甲、乙两种保险都不购置的概率为。

所以X的期望是20人。

练习：1购置某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，假设投保人在购置保险的一年度内出险，那么可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购置了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为．

〔Ⅰ〕求一投保人在一年度内出险的概率；

〔Ⅱ〕设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的本钱为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费〔单位：元〕．

解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10000人中出险的人数为，

那么．

〔Ⅰ〕记表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，那么发生当且仅当， 2分

，

又，

故． 5分

〔Ⅱ〕该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与本钱的和．

支出