直角三角形的性质和判定.ppt

直角三角形的性质

和判定（Ⅱ）1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ（3）

做一做如图1-9，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边a,b分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.图1-9我量得c为5.

议一议议一议议一议议一议议一议议一议在方格纸上，以图1-9中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10，那么这三个正方形的面积S1，S2，S3之间有什么关系呢？图1-10由图1-10可知，S1=32，S2=42.为了求S3，可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积，得S3=52.∵32+42=52，∴S1+S2=S3.

在图1-10中，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？图1-10

探究如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？图1-11

步骤1先剪出4个如图1-11所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中ba），于是它们全等（SAS),从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.图1-11我们来进行研究.

步骤2再剪出1个边长为c的正方形，如图1-12所示.图1-12

步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1-13的图形.图1-13由于△DHK≌△EIH，∴∠2＝∠4.又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠4=90°.

因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a+b)，它的面积为(a+b)2.又∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D，H，E在一条直线上.图1-13同理E，I，F在一条直线上；F，J，G在一条直线上；G，K，D在一条直线上.

又正方形DEFG的面积为，∴即a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2.图1-13

结论直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2由此得到直角三角形的性质定理：

其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.勾股弦

故AD的长为12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2+BD2=AB2，如图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？例1图1-15解在△ABC中，∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，∴BD==5.

在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.练习答：（1）c=；（2）；（3）

作业习题1.2第1、3题

课外探讨：下图是《周髀算经》中“弦图”，我国魏晋时期的数学家赵爽利用这个图证明了勾股定理，你会利用这个图证明勾股定理吗？abc