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河南省信阳第一高级中学2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在各项均为正数的等比数列中,若,则()
A. B.6 C.4 D.5
2.已知复数z满足i?z=2+i,则z的共轭复数是()
A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i
3.若实数满足不等式组,则的最大值为()
A. B. C.3 D.2
4.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体(如图),则此四面体的外接球表面积为()
A. B.
C. D.
5.设是定义域为的偶函数,且在单调递增,,则()
A. B.
C. D.
6.已知函数,且),则“在上是单调函数”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.函数在的图象大致为
A. B.
C. D.
8.已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()
A.1 B.2 C. D.
9.已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为()
A.1 B. C.2 D.
10.设,点,,,,设对一切都有不等式成立,则正整数的最小值为()
A. B. C. D.
11.在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则()
A. B.4 C. D.16
12.已知复数满足,其中为虚数单位,则().
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点,且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.
14.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____.
15.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.
16.已知,则的值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数
(1)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;
(2)若函数对恒成立,求实数的取值范围.
18.(12分)设函数f(x)=x2?4xsinx?4cosx.
(1)讨论函数f(x)在[?π,π]上的单调性;
(2)证明:函数f(x)在R上有且仅有两个零点.
19.(12分)已知椭圆,左、右焦点为,点为上任意一点,若的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线过点与交于两点,在轴上是否存在定点,使成立,说明理由.
20.(12分)若函数在处有极值,且,则称为函数的“F点”.
(1)设函数().
①当时,求函数的极值;
②若函数存在“F点”,求k的值;
(2)已知函数(a,b,,)存在两个不相等的“F点”,,且,求a的取值范围.
21.(12分)若数列前n项和为,且满足(t为常数,且)
(1)求数列的通项公式:
(2)设,且数列为等比数列,令,.求证:.
22.(10分)如图,在四棱锥中,四边形为正方形,平面,点是棱的中点,,.
(1)若,证明:平面平面;
(2)若三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算.
【详解】
由题意
.
故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.
2、D
【解析】
两边同乘-i,化简即可得出答案.
【详解】
i?z=2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i,选D.
【点睛】
的共轭复数为
3、C
【解析】
作出可行域,直线目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.
【详解】
作出可行域,如图由射线,线段,射线围成的阴影部分(含边界),作直线,平移直线,当过点时,取得最大值1.
故选:C.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题,解题关键是作出可行域,本题要注意可行域不是一个封闭图形.
4、A
【解析】
画图
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