医科高等数学 第三节 函数的连续性.pptx

一、连续函数的概念二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质第三节函数的连续性1

连续变化的曲线对应的函数为连续函数如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的．函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映．0ＸＹ2

1.函数的增量一、连续函数的概念3

2．函数连续性的定义定义1-9设函数在点及其附近有定义，如果时，也有，即则称函数在点处连续(continuous)，称为的连续点(continuouspoint).注意:故定义中1-9的极限式等价于4

因此，函数在一点连续的充分必要条件是同时满足:例1-41讨论函数在的连续性解:所以在连续．5

3.单侧连续显然：即：6

例1-42解:7

4.连续函数与连续区间在区间内每一点都连续的函数,叫做在区间内的连续函数,或者说函数在区间内连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.8

例1-43证明：9

5．函数的间断点10

跳跃间断点例1-44解：11

可去间断点例1-45在的连续性12

解：注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.13

如例1-45中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点：14

第二类间断点例1-46解：这种情况称为无穷间断点．15

解：1-1-0.50.5yx例1-47这种情况称为振荡间断点．16

第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx17

例如,性质1二、初等函数的连续性性质218

注：极限符号可以与函数符号互换解：性质3例1-4819

解：同理可得例1-4920

所有基本初等函数在定义域内是连续的.由连续函数的性质可知:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.故对初等函数,求极限就是求这一点的函数值．例1-50解：例1-51解：21

三、闭区间上连续函数性质ab定理1-3（最值定理）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上必有最大值和最小值．推论（有界性定理）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上必有界．22

abBA定理1-4（介值定理）若函数在闭区间上连续，则对介于和之间的任何数，至少存在一个，使得其几何意义为：连续曲线弧与水平直线至少相交于一点．23

推论1：在闭区间上连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。推论2（零点存在定理）若函数在闭区间上连续，且与异号（即），则至少存在一个，使得因此，称为函数的零点，它就是方程的根．注：零点不一定唯一ba24

例1-52证明在区间内至少有一点满足证明：是初等函数，其定义域为，则在闭区间上连续．又因为由零