用数形结合的方法解题.pdf

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1引言

数与形是数学中最古老最根本的研究对象。华罗庚教授说过：数缺形时少直观，

形缺数时难入微。〞数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转

化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要容，数形结合应用解题能

力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的

使问题简捷获解。实现数形结合常与以下容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②

所给的等式或代数式的构造含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立

起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不

仅直观易发现解题途径，而且能防止复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、

填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。

2文献综述

2.1国外研究现状

数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。

自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的开展。文献[1]中叶

立军谈到：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。〞近

些年来，国外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形

结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形构造与数式构造提出了数形结

合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要

遵循转化等价原那么。不过由于数形结合思想应用围极其广泛，所以我认为目前对数形

结合思想的研究仍有很大的空间。

2.2国外研究现状评价

文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，

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集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的

研究并不够全面。

2.3提出问题

如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为

具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不

争的事实是—学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。因此对数形结合

在高中数学各知识点进展全面研究是有必要的。

3数形结合思想概述

1、数形结合思想的概念

数和形是高中数学研究的两大局部，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量

关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数〞和以数助形〞使复杂问

题简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。

以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的构造特征等。

以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。

2、数形结合思想应遵守的原那么

〔1〕等价性原那么。数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应

关系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否那么会由于几何的局限

性导致表示的数不完整。

〔2〕双向性质原那么。利用数形结合思想，一方面要对直观几何进展分析，另一

方面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。如只对几何问题进展代数分析或对代数问

题进展几何分析，在很多时候是很难行得通的。

〔3〕简单性原那么。简单性原那么就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要

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刻意去追求某一种模式——代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。

3、数形结合思想的的解题方法

〔1〕图示法

如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。

〔2〕区域法

如用不等式的几何意义表示平面区间。

〔3〕坐标法

如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。

〔4〕特征法

y

如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。

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4数形结合思想在解题中的应用

4.1在集合中的应用