江苏省泰州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题.docx

江苏省泰州中学2023~2024学年度第二学期期中考试

高一数学试题

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）

1．已知单位向量，的夹角为，则（）

A． B．0 C．1 D．2

2．在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，则（）

A． B．1 C．2 D．

3．已知，则（）

A．3 B． C． D．

4．如图，向量（）

A． B． C． D．

5．计算（）

A．4 B． C． D．2

6．泰州市广播电视塔建于上世纪90年代，横跨在泰州市区繁华的青年路上，宛如法国巴黎的艾菲尔铁塔，直插云霄．如图，小明想在自己家测量楼对面电视塔的高度，他在自己家阳台处，到楼地面底部点的距离为，假设电视塔底部为点，塔顶为点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点，且E，N，P三点共处同一水平线，在处测得阳台处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台处测得电视塔顶处的仰角，假设和点在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（）

A．120m B．110m C． D．

7．所在平面内一点满足，若，则（）

A． B． C． D．

8．辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为．已知函数（其中，，）．若，，则下列结论正确的是（）

A．

B．的图象关于直线对称

C．在上单调递增

D．过点的直线与的图象一定有公共点

二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9．已知向量是三个非零向量，则下列结论正确的有（）

A．若，则

B．若，，则

C．的充要条件是存在唯一的，使得

D．若，则

10．已知函数，，则（）

A． B．在区间上只有1个零点

C．的最小正周期为 D．，

11．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是（）

A．，则是锐角三角形

B．若，则

C．若，则是钝角三角形

D．若，，，则只有一解

三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12．已知向量，，若，则__________．

13．已知是锐角，，则__________．

14．在中，角A，B，C所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为__________．

四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（13分）

已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

16．（15分）

如图，在中，，是的中点，设，．

（1）试用，表示，；

（2）若，，与的夹角为，求．

17．（15分）

已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，且．

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长．

18．（17分）

法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．

（1）求角A；

（2）若，的面积为，求的面积．

19．（17分）

由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有

可见也可以表示成的三次多项式．

（1）利用上述结论，求的值；

（2）化简；并利用此结果求的值；

（3）已知方程在上有三个根，记为，求证：．

江苏省泰州中学2023-2024学年度第二学期期中考试

高一数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

D

D

C

A

B

D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

题号

9

10

11

答案

BCD

ACD

BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12． 13． 14．

15．解：（1），解得；

（2）．

16．解：（1）因为，所以．

所以．

因为是的中点，所以．

（2）由（1）知，，

所以，

．

所以．

17．解：（1）由向量平行的坐标公式，得，

由正弦定理，得，即，

由余弦定理，得，又，故．

（2）由三角形面积公式，得，故，

所以为等腰三角形，所以．

将代入（1）中所求，则，

解得（舍去）或，

所以的周长为．

18．解：（1），，

故，

所以，可得或（舍），

由，所以．

（2）如图，连接，，

由正弦定理得，，则