利用导数研究函数零点(完美总结).docx

利用导数研究含参函数零点问题

利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：

利用导数研究函数的最（极）值，转化为函数图像与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；

分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图像交点问题。

例1．已知函数（且），为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；

（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．

变1：设函数，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，讨论函数与图像的交点个数．

例2.(2014年湖北卷)已知函数（）.

（1）求函数的单调区间；

（2）讨论函数在区间上零点的个数.

变2：（2017年全国卷1）已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

练习1．（2018年全国卷2）已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求．

2.(2018年福建联考)已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

3.（2019年衡水联考金卷）已知函数，其中e为自然对数的底数，；

若恰有两个零点，求实数的取值范围；

当时，求证：.（参考数据：）

（2016年新课标1卷）已知函数有两个零点，

求的取值范围；

设是的两个零点，证明：.

作业：

1.设a1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．

2.函数f(x)＝x3－kx，其中实数k为常数．

(1)当k＝4时，求函数的单调区间；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝k只有一个交点，求实数k的取值范围．

3.已知函数f(x)＝(a0)．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．

4.已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．

已知函数.

若，讨论的单调性；

若时函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.

6.（2015年广东卷21第2问）已知函数，设,若函数的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围.

7.（2019年深圳三模）已知函数对于任意的，都有.

讨论的单调性；

当存在三个不同的零点时，求实数的取值范围.