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天津市南开中学2023-2024学年度高三下学期第五次月考数学试题【解析版】
考试时间:120分钟
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试结束后,请交回答题卡.
第I卷
一?选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集,则(????)
A. B. C. D.
2.“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.如图,下列能表达这条曲线的函数是(????)
A. B.
C. D.
4.已知等差数列和的前项和分别为,若,则(????)
A. B. C. D.
5.某校举办了数学知识竞赛,并将1000名学生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图,则以下四个说法正确的个数为(????)
①a的值为0.005
②估计这组数据的众数为75
③估计这组数据的下四分位数为60
④估计成绩高于80分的有300人
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知,则的大小关系为(????)
A. B.
C. D.
7.三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的简型玉器,是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空,形状对称,如图所示,圆筒内径长2,外径长3,筒高4,中部为棱长是3cm的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则该玉琮的体积为(????)
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示,其中,,则以下五个说法正确的个数为(????)
①函数的最小正周期是;
②函数在上单调递减;
③函数的图象关于直线对称;
④将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称;
⑤当时,.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知双曲线的左、右焦点分别为、,经过的直线交双曲线的左支于,,的内切圆的圆心为,的角平分线为交于M,且,若,则该双曲线的离心率是()
A. B. C. D.2
第II卷
二?填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
10.若,则的共轭复数为.
11.在的展开式中,的系数为.(结果用数字表示)
12.已知直线与圆相交于两点,且,则实数
13.某射击小组共有10名射手,其中一级射手3人,二级射手2人,三级射手5人,现选出2人参赛,在至少有一人是一级射手的条件下,另一人是三级射手的概率为;若一?二?三级射手获胜概率分别是0.9,0.7,0.5,则任选一名射手能够获胜的概率为.
14.已知中,,且的最小值为,则,若为边上任意一点,则的最小值是.
15.对任意,不等式恒成立,则的取值范围是.
三?解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.
(1)求角A的大小;
(2)若,求的值;
(3)若的面积为,,求的周长和外接圆的面积.
17.如图,棱柱的底面是菱形,,所有棱长都为,,平面为的中点.
??
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到直线的距离.
18.已知是公比为q的等比数列.对于给定的,设是首项为,公差为的等差数列,记的第i项为.若,且.
(1)求的通项公式;
(2)求;
(3)求.
19.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ:的离心率为,直线l与Γ相切,与圆O:相交于A,B两点.当l垂直于x轴时,.
(1)求Γ的方程;
(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点,且所有最小距离的最大值存在,则记此最大值为.
(ⅰ)若M,N分别为线段AB与圆O上任意一点,P为圆O上一点,当的面积最大时,求;
(ⅱ)若,均存在,记两者中的较大者为.已知,,均存在,证明:.
20.已知函数.
(1)证明:当时,;
(2)若函数有两个零点.
①求的取值范围;
②证明:.
1.C
【分析】直接由交集补集的定义求解即可
【详解】因为,
所以,所以,
故选:C.
2.A
【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法,求得不等式的解集,结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.
【详解】由不等式,可得,所以,解得,
又由,可得,解得,
因为是的真子集,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
3.C
【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值,即可得出结果.
【详解】解:观察图象可知,函数的图象关于轴对称,应是偶函数,
而选项B,,是奇函数,图象关于原点对称,不符合题意,
选项D,,是奇函数,图象关于原点对称,不符合题意,
对选项A而言,当时,,不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查函数的图象及其性质,考查运算求解能力,属
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