高中数学：8-3-2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积.docx

长沙市明德中学

教学设计

课程基本信息

学科姓名

数学

年级

高一

学期

春季

课题

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

教科书

书名：普通高中教科书数学必修第二册A版教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学目标

通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式，能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题，培养运算、建模、将实际问题抽象到数学问题的能力。

教学内容

教学重点：

1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；

教学难点：

1.圆台、球的体积公式的理解；

2.圆柱、圆锥、圆台、球的有关组合体的表面积和体积求法.

教学过程

复习引入

前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式：

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和；

棱柱的体积公式：V=Sh

棱锥的体积公式：V=

棱台的体积公式：V=

本节进一步学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积。

新课

（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积

思考：类似于棱柱、棱锥、棱台的表面积，你能得到圆柱、圆锥、圆台的表面积公式吗？

分析：与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。利用圆柱、圆锥、圆台的展开图如图，可以得到它们的表面积公式：

圆柱

(底面半径为r，母线长为l)

圆锥

(底面半径为r，母线长为l)

圆台

(上、下底面半径分别为r，r，母线长为l)

侧面展开图

底面积

S

S

S

侧面积

S

S

S

表面积

S表

S

S

补充：圆台侧面积公式推导：

设圆台的上底面半径r，下底面半径为r，圆台的母线为l，小圆锥的母线为l

则：rr

则：S=

=

得到圆台的侧面积公式：S侧

思考：圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？

分析：

（二）圆柱、圆锥、圆台的体积

圆柱

圆柱的体积公式：V=

其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。

圆锥

圆锥的体积是与它同底同高的圆柱的体积的三分之一，即圆锥的体积公式：V=1

其中圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。

圆台

思考：根据台体的特征，如何求台体的体积？

分析：圆台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用棱台的体积公式，得到圆台的体积公式．

证明：设圆台的上底面半径为r，面积为S，下底面半径为r，面积为S，圆台的高为

由棱台的体积公式得到圆台的体积公式：V=

又S=πr2，

V=

得到圆台的体积公式：V=

球的表面积和体积

表面积

设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数。

事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是S=4πR2

例如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的，半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)

解：一个浮标的表面积为2

所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478

体积

思考：在小学我们学了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？

分析：利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。

第一步：分割

O如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥形”。

O

设“小锥体”的体积为?Vi，则球的体积为：

第二步：求近似和

如果网格分的越细，则“小锥体”就越接近小棱锥，?hi的值就趋向于球的半径R。即

所以V=?

≈

≈

=

=13

因为S=4πR2,所以球的体积为

得到球的体积公式：V=4

例如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。

解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。

因为V球=

V

三、例题

例1(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()

A.1:2B.1:2C.1:5

答案：C

解析：设圆锥底面半径为r，则高h