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中考特色题型专练之尺规作图
几何篇
题型一、与三角形结合
1.在学习等边三角形的过程中,小睿同学发现一个规律:在等边中,点D是边上任意一点,连接,过点A的射线交于点E,交于点F,当时,则必有.为验证此规律的正确性,小睿的思路是:先利用图,作,再通过证全等得出结论.请根据小睿的思路完成以下作图与填空:
(1)用直尺和圆规在图的基础上作,交于点E,交于点F.(不写作法,不下结论,只保留作图痕迹)
(2)证明:∵为等边三角形,
∴,______①
在和中,
,
∴,
∴______③,
又∵
∴______④,
∴.
2.如图,在中,.
(1)用尺规作图作边上的中垂线,交于点D,交于点E,再连接(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
(2)在(1)题的基础上,求证:
3.如图,在中,,点在的延长线上,连接.
(1)在线段上确定点,使得;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,如果,,求的长.
4.(1)如图,已知中,是上一点.求作,使得过点,且与相切.
要求:①用直尺和圆规作图;②保留作图痕迹,写出必要的文字说明.
(2)如图,在中,是边上一点(点与点不重合).若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形,直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围.
题型二、与四边形结合
1.已知,矩形.
(1)若点E为边上一点,且,请在图1中用尺规作图确定点E的位置,并将图形补充完整;(不写作法,保留作图痕迹,并将痕迹描粗加黑)
(2)在(1)的条件下,已知线段,线段,求的长.(请用图2进行探究)
2.如图,在中,.
(1)按下列要求作图(不写作法,保留作图痕迹).
①作线段的垂直平分线,交线段于点D,连接.
②以点B为圆心,长为半径画弧,交线段的垂直平分线于另一点E.
③连接.请作出四边形.
(2)在(1)的条件下,若,求的长.
3.如图,已知.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上分别确定点,使四边形是菱形,并画出菱形(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(2)若,求(1)中所作菱形的边长.
4.如图1,在矩形中,,点P是边上的一个动点,连接,点Q是边上的一点,且满足.
(1)在图1中作出点Q;(要求:尺规作图,保留作图痕迹并用黑笔描黑加粗,不写作法)
(2)当时,则;
(3)随着点P的运动,是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
题型三、与圆结合
1.在中,,连接.
??
(1)尺规作图:过点A作,交的延长线于点D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求证:为的切线;
(3)若,,则的半径为______.
2.如图,是的直径,点在上.
(1)请在图1中的上作一点(异于点),使,连接并延长交的延长线于点,过作的垂线交于点;(作图使用没有刻度的真尺和圆规,不写作法,保留作图痕迹,并在图中标注必要的字母)
(2)在(1)中所作的图形中,求证:.(如需画草图,请使用图2)
(3)在(1)中所作的图形中,若,,求的长.(如需画草图,请使用图2)
3.尺规作图:
如图,已知,在中,,
(1)已知点O在边上,请用圆规和直尺作出,使经过点C,且与相切(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)若与切于点D,与的另一个交点为E,若,的半径为2,求劣弧与线段所围成的图形的面积.(结果保留)
4.已知,正方形,边长为4,点是边、上一动点,以为直径作,
(1)点在边上时(如图1)
①求证:点在边的垂直平分线上;
②如图2,若与边相切,请用尺规作图,确定圆心的位置,(不写作法,保留作图痕迹),并求出长;
③如图3,点从运动到点的过程中,若始终是的中点,写出点运动的轨迹并求出路径长:
(2)当点在边上时(如图4),若始终是的中点,连接,,连接,求:的面积.
题型四、与相似结合
1.如图,中,.
??
(1)作的外接圆(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,点D在上且与点C位于异侧,连接并延长交的垂直平分线于点E,过点E作交延长线于点.
①求证:;
②若,求的值.
2.“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】(1)如图①,是的角平分线,求证.
小明思路:关联“平行线、等腰三角形”,利用“三角形相似”.
小红思路:关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,利用“等面积法”.
请根据小明或小红的思路,选择一种并完成证明.
【作图应用】(2)如图②,是的弦,在优弧上作出点P,使得.
要求:①用直尺和圆规作图;
②保留作图的痕迹.
【结论应用】(3)在中,最大角是最小角的2倍,且,求.
3.如图,中,,分别为边的点,,.
??
(1)用圆规和没有刻度的直尺在线段上求作一点,使(两种工具分别只限使用一次,并保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,过点作交于,,求的值.
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