权向量的求法.doc

层次分析方法

倪致祥主讲

层次分析法是一种多准那么思维的方法，它将定性分析和定量分析相结合，把人们的思维过程层次化和数量化，在目标结构复杂且缺乏必要的数据情况下尤为实用。自70年代美国运筹学家SaatyT.L.提出以来，此方法在实际应用中开展很快。

过去的物理是建立在纯化的实验和理想化的模型的根底上，去分析和探索物质世界最根本的规律。现代物理那么开始呈现出一种研究复杂性现象的趋势，除了把物理知识应用到其它更复杂的科学领域，建立象量子化学、生物物理、量子生物学等交叉学科之外，在物理领域的本身也一反过去研究理想模型的惯例，开始向非理想、不规那么的复杂现象进军。非晶态、无序、混沌、多体等问题正在吸引许多物理学家的注意。对这些复杂问题，传统的纯定量分析方法越来越变得软弱无力，需要借助于定性分析的方法来整体考虑。因此，层次分析方法也许会给我们提供帮助。

问题1

某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。在决策时需要考虑的因素主要有

调动职工劳动生产积极性；

提高职工文化水平；

改善职工物质文化生活状况。

请你对这些因素的重要性进行排序，以供厂领导作参考。

分析和试探求解

这个问题涉及到多个因素的综合比拟。由于不存在定量的指标，单凭个人的主观判断虽然可以比拟两个因素的相对优劣，但往往很难给出一个比拟客观的多因素优劣次序。为了解决这个问题，我们能不能把复杂的多因素综合比拟问题转化为简单的两因素相比照拟问题呢？运筹学家想出了一个好方法：首先找出所有两两比拟的结果，并且把它们定量化；然后再运用适当的数学方法从所有两两相比照拟的结果之中求出多因素综合比拟的结果。具体操作过程如下：

1)进行两两相比照拟，并把比拟的结果定量化。

首先我们把各个因素标记为B1：调动职工劳动生产积极性；B2：提高职工文化水平；B3：改善职工物质文化生活状况。根据心理学的研究，在进行定性的成比照拟时，人们头脑中通常有5种明显的等级：相同、稍强、强、明显强、绝对强。因此我们可以按照下表用1～9尺度来定量化。

定性结果

定量结果

Bi与Bj的影响相同

Bi:Bj=1:1

Bi比Bj的影响稍强

Bi:Bj=3:1

Bi比Bj的影响强

Bi:Bj=5:1

Bi比Bj的影响明显强

Bi:Bj=7:1

Bi比Bj的影响绝对强

Bi:Bj=9:1

Bi与Bj的影响在上述两个等级之间

Bi:Bj=2,4,6,8:1

Bi与Bj的影响和上述情况相反

Bi:Bj=1:1,2,…,9

假定各因素重要性之间的相对关系为：B2比B1的影响强，B3比B1的影响稍强，B2比B3的影响稍强，那么两两相比照拟的定量结果如下：

为了便于数学处理，我们通常把上面的结果写成如下矩阵形式，称为成比照拟矩阵。

(1)

2)综合排序

为了进行合理的综合排序，我们把各因素的重要性与物体的重量进行类比。设有n件物体：A1,A2,…,An，它们的重量分别为：w1,w2,…,wn。假设将它们两两相互比拟重量，其比值(相对重量)可构成一个n×n成比照拟矩阵

(2)

经过仔细观察，我们发现成比照拟矩阵的各行之和恰好与重量向量W=(w1,w2,…,wn)T成正比，即

(3)

根据类比性，我们猜测因素的重要性向量与成比照拟矩阵(1)之间也有同样的关系存在。由此，我们可以得到因素的重要性向量为

(4)

为了使用方便，我们可以适当地选择比例因子，使得各因素重要性的数值之和为1(这个过程称为归一化，归一化后因素重要性的数值称为权重，重要性向量称为权重向量)，这样就得到一个权重向量

(5)

上式中元素的权重大小给出了各因素重要性的综合排序。

对(2)式的进一步分析还可以发现

(6)

这说明W还是成比照拟矩阵A的特征向量，对应的特征值为n，理论上已严格地证明了n是A的唯一最大特征值。按类比法，我们也可以用求解特征方程的方法来得到重要性向量。与(1)式对应的特征方程为

(7)

由此可以解出其最大特征值为n’=3.038，对应的特征向量为：

W’=(0.105,0.537,0.258)T(8)

矛盾和原因

同一个问题，相似的方法，为什么(5)与(8)两个结果不一致〔尽管不影响排序〕？现在我们来分析一下其中的原因。对于由重量比值构