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专题23抛物线(解答题压轴题)
①抛物线焦点弦问题
1.(2022·浙江·模拟预测)已知抛物线,直线与抛物线交于、两点(在的上方).
(1)若过抛物线的焦点,且垂直于轴时,,求此时抛物线的方程;
(2)若直线的斜率,过点作直线的垂线交抛物线于另外一点,当,且的重心落在直线上时,求直线的斜率.
2.(2022·全国·高二课时练习)如图,抛物线E:y2=2px的焦点为F,四边形DFMN为正方形,点M在抛物线E上,过焦点F的直线l交抛物线E于A,B两点,交直线ND于点C.
(1)若B为线段AC的中点,求直线l的斜率;
(2)若正方形DFMN的边长为1,直线MA,MB,MC的斜率分别为k1,k2,k3,则是否存在实数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由.
3.(2022·浙江·瑞安市第六中学高二开学考试)已知抛物线的焦点为F,以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形,过的直线交抛物线E于A,B两点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)是否存在常数,使得,如果存在,求的值,如果不存在,请说明理由;
(3)证明:内切圆的面积小于.
4.(2020·内蒙古赤峰·高三阶段练习(理))已知曲线的短轴长为,曲线,的一个焦点在的准线上.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线的左焦点为,右焦点为,若过点的直线与曲线的轴左侧部分(包含与轴的交点)交于,两点,直线与曲线交于,两点,直线与曲线交于,两点,试求的取值范围.
5.(2020·上海浦东新·高三阶段练习)已知点是抛物线上的焦点,、是抛物线上的两个动点.
(1)若直线经过点,且,求;
(2)若,求证:线段的垂直平分线经过一个定点,并求出点的坐标;
(3)若线段与轴交于点,是否存在这样的点,使得为定值,若存在,求出这个定值和点的坐标;若不存在,请说明理由.
②抛物线中参数范围与最值问题
1.(2022·全国·高三专题练习)已知、、,圆,抛物线,过的直线与抛物线交于、两点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与圆交于、两点,记面积为,面积为,求的取值范围.
2.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知点在抛物线E:()的准线上,过点M作直线与抛物线E交于A,B两点,斜率为2的直线与抛物线E交于A,C两点.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)(ⅰ)求证:直线过定点;
(ⅱ)记(ⅰ)中的定点为H,设的面积为S,且满足,求直线的斜率的取值范围.
3.(2022·全国·高三专题练习)如图,已知椭圆,抛物线,O为坐标原点.
(1)若抛物线的焦点正好为椭圆的上顶点,求p的值;
(2)椭圆与抛物线在第一象限的交点为,过点P但不过原点的的直线l交椭圆于点Q,交抛物线于点M(Q,M不同于点P),若M是线段PQ的中点,求p的最大值,并求当p取最大时直线l的斜率.
4.(2022·全国·高三专题练习(文))已知抛物线C:,F为抛物线C的焦点,是抛物线C上点,且;
(1)求抛物线C的方程;
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA,PB(其中A,B为切点),求的最大值.
5.(2022·全国·高三专题练习(文))已知抛物线的焦点为,抛物线上一点到点的距离为.
(1)求抛物线的方程及点的坐标;
(2)设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、,若且,求斜率的取值范围.
6.(2022·全国·高三专题练习)如图,已知椭圆,曲线与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于、,直线、分别与交于点、.
(1)证明:以为直径的圆经过点;
(2)记、的面积分别为、,若,求的取值范围.
7.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为,焦距为2,离心率,抛物线的焦点是是椭圆上的任意一点,且位于轴左侧,过点分别作抛物线的两条切线,切点分别为.
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)求面积的取值范围.
8.(2022·浙江·高三专题练习)如图,已知椭圆和抛物线,斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点,且线段的中点在抛物线上.
(1)求点的纵坐标的取值范围;
(2)设是抛物线上一点,且位于椭圆的左上方,求点的横坐标的取值范围,使得的面积存在最大值.
③物线中定点、定值、定直线问题
1.(2022·全国·高三专题练习)已知定点,,定直线:,不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍.设点的轨迹为,过点的直线交于、两点,直线、分别交于点、.
(1)求的方程;
(2)试判断以线段为直径的圆是否过定点,若过定点,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.
2.(2022·全国·高三专题练习)已知,是抛物线上两个不同的点,的焦点为.已知点,记直线的斜率分别为,且,当直线过定点,且定点在轴上时,点在直线上,满足,求点的轨迹方程.
3.(2022·浙江·高二期末)设点为抛物线:()的动点,是抛物线的焦点,
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