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专题22双曲线(解答题压轴题)
①双曲线的中点弦问题
1.(2022·四川·树德中学高三期中(文))已知抛物线:()的焦点为,为上的动点,为在动直线()上的投影.当为等边三角形时,其面积为.
(1)求的方程;
(2)设为原点,过点的直线与相切,且与椭圆交于,两点,直线与交于点.试问:是否存在,使得为的中点?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
2.(2022·全国·高二专题练习)已知双曲线与椭圆有共同的焦点,点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程及渐近线方程;
(2)以为中点作双曲线C的一条弦AB,求弦AB所在直线的方程.
3.(2022·全国·高二课时练习)在平面直角坐标系中,已知双曲线C的焦点为、,实轴长为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点的直线l与曲线C交于M,N两点,且Q恰好为线段的中点,求直线l的方程.
4.(2022·河南洛阳·高二阶段练习(文))已知双曲线M与椭圆有相同的焦点,且M与圆相切.
(1)求M的虚轴长.
(2)是否存在直线l,使得l与M交于A,B两点,且弦AB的中点为?若存在,求l的斜率;若不存在,请说明理由.
②双曲线中的最值问题
1.(2022·全国·高三阶段练习)在一张纸上有一圆,定点,折叠纸片上的某一点恰好与点重合,这样每次折叠都会留下一条直线折痕,设折痕与直线的交点.
(1)证明:为定值,并求出点的轨迹的轨迹方程;
(2)若曲线上一点,点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点,若,求面积的取值范围.
2.(2022·全国·高二期中)已知双曲线C:的渐近线方程为,O为坐标原点,点在双曲线上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点,且,求的最小值.
3.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C的两焦点在坐标轴上,且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2,焦距为,且点P(0,-1)到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B,交双曲线C的两条渐近线于点D、E(D在y轴左侧).记和的面积分别为、,求的取值范围.
4.(2022·江苏·高二单元测试)在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为双曲线:的右顶点,直线与的一条渐近线平行.
(1)求的方程;
(2)如图,?为的左右焦点,动点在的右支上,且的平分线与轴?轴分别交于点?,试比较与的大小,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,设过点?的直线与交于?两点,求的面积最大值.
5.(2022·湖南师大附中高二期中)已知椭圆与双曲线有共同的焦点,且双曲线的实轴长为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若曲线与在第一象限的交点为,求证:.
(3)过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的,两点,与椭圆交于,两点.记,的面积分别为,,求的最小值.
6.(2022·全国·高二期末)已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.
(1)求等轴双曲线的方程;
(2)为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为,和,,求的最小值.
7.(2022·全国·高二课时练习)已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为,离心率.
(Ⅰ)求该双曲线的方程;
(Ⅱ)如图,点的坐标为,是圆上的点,点在双曲线右支上,求的最小值,并求此时点的坐标
③双曲线中定点、定值、定直线问题
1.(2022·河北·高三阶段练习)已知圆A:,直线l(与x轴不重合)过点交圆A于C、D两点,过点B作直线的平行线交直线于点E.
(1)证明为定值,并求点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹方程为,直线l与曲线交于M、N两点,线段的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实常数入,使得,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
2.(2022·湖南·高三阶段练习)已知双曲线的离心率为,点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点,问在轴上是否存在定点,使得为常数?若存在,求出点的坐标以及该常数的值;若不存在,请说明理由.
3.(2022·湖南永州·一模)点在双曲线上,离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)是双曲线上的两个动点(异于点),分别表示直线的斜率,满足,求证:直线恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
4.(2022·辽宁朝阳·高三阶段练习)已知双曲线的离心率为,点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)点,在双曲线上,直线,与轴分别相交于两点,点在直线上,若坐标原点为线段的中点,,证明:存在定点,使得为定值.
5.(2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,且三角形的面积为.
(1)求m的值;
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为,F为C的右焦点,若,F,N三点共线,证明:直线l经过x
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