衡水金卷2023-2024学年高三下第一次测试数学试题含解析.doc

衡水金卷2023-2024学年高三下第一次测试数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线过双曲线C：的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为

A． B． C． D．

2．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为

A． B． C． D．

3．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）

A． B． C． D．

4．的展开式中的系数是-10，则实数()

A．2 B．1 C．-1 D．-2

5．函数的大致图象为

A． B．

C． D．

6．设是虚数单位，，，则（）

A． B． C．1 D．2

7．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（）

A．36 B．72 C． D．

8．已知向量满足,且与的夹角为,则()

A． B． C． D．

9．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是

A．在内总存在与平面平行的线段

B．平面平面

C．三棱锥的体积为定值

D．可能为直角三角形

10．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）

A． B．3 C． D．1

11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是()

A． B． C． D．

12．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（）

A．100 B．1000 C．90 D．90

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______

14．已知全集，集合，则______.

15．设，若关于的方程有实数解，则实数的取值范围_____．

16．的展开式中常数项是___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.

18．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；

（2）化简求值：．

19．（12分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：

第一周

第二周

第三周

第四周

第一周期

第二周期

第三周期

（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；

（Ⅱ）若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”，以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；

（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.

20．（12分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

21．（12分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．

（1）求p的值；

（2）求证：数列{an}为等比数列；

（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．

22．（10分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

直线的倾斜角为，易得．设双曲线C的右焦点为E，可得中，，则，所以双曲线