湖南省益阳市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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湖南省益阳市2024届高三下学期4月教学质量检测

数学试题

一、选择题

1.设为虚数单位，且，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由题意可得：，

所以.

故选：D.

2.已知，，则是方程的解的充要条件是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗C

〖解析〗因为，所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：，函数的最小值为.

若“是方程的解”，则，那么就是函数的最小值，

所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分条件；

若“，”，则为函数的最小值，所以，即，

所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要条件.

综上可知：“是方程的解”的充要条件是“，”.

故选：C

3.顶角为的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知，则“最美三角形”的底边长与腰长的比为（）

A. B.

C. D.

〖答案〗B

〖解析〗如图，在中，，，点为中点，

所以，，

又，则，

解得或（舍去），

即，

又，

所以，即“最美三角形”的底边长与腰长的比为.

故选：B

4.已知数列满足且，则（）

A.128 B.64 C.32 D.16

〖答案〗D

〖解析〗因为且，

所以，则，

，则，

，则，

，则，

，则，

，则，

，则

，则.

故选：D

5.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）

A.6 B.7 C.8 D.9

〖答案〗D

〖解析〗椭圆的焦点为，

依题意可得，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

故最小值为.

故选：D

6.2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（）

A.21 B.22 C.23 D.24

〖答案〗C

〖解析〗设直播间进来了个人，则这个人生日的可能性有种，这个人中任意两个人都不在同一天生日的可能结果种数为，

设“这个人中任意两个不是同一天生日”，根据古典概型概率公式可得，

则其对立事件“这个人中至少有两个人的生日在同一天”的概率为.

由题意：，从而，得，化简得，即，故.

故选：C.

7.如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体，

设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心，

则必有平面且，，三点共线，

在正三角形中，易求得，

在中，由，可得，

在中，由，得，

解得，由题意得，所以，

所以．故选：D．

8.已知的定义域为是的导函数，且，，则的大小关系是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗C

〖解析〗因为，即，

构造函数，则，

将代入，得.

再构造函数，则，

易知，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，

由于，所以，所以，

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递减，所以在单调递减.

又根据单位圆可得三角不等式，又，，所以，故.故选：C.

二、选择题

9.下列命题中，正确的是（）

A.函数与表示同一函数

B.函数与是同一函数

C.函数的图象与直线的图象至多有一个交点

D.函数，则0

〖答案〗BC

〖解析〗对于A：，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；

对于B：函数与定义域相同，〖解析〗式一致故是同一函数，故B正确；

对于C：根据函数的定义可知，函数的图象与直线的图象至多有一个交点，故C正确；

对于D：因为，所以，

则，故D错误.故选：BC.

10.如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆与横杆组成，为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆始终保持水平．如图2所示，以点为原点，水平方向为轴正方向建立平面直角坐标系．若点距水平地面的高度为1米，转动杆的长度为1.6米