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专题10一元函数的导数及其应用
(利用导数研究双变量问题)(全题型压轴题)
①型
1.(2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习)已知函数,
(1)若函数在区间上存在零点,求实数a的取值范围;
(2)若对任意的,总存在,使得成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
的图象开口向上,对称轴为,所以函数在上单调递减.因为函数在区间上存在零点,所以,解得,即实数a的取值范围为.
(2)
记函数,的值域为集合A,,的值域为集合B.则对任意的,总存在,使得成立.
因为的图象开口向上,对称轴为,所以当,,得.
当时,的值域为,显然不满足题意;
当时,的值域为,因为,所以,解得;
当时,的值域为,因为,所以,解得.
综上,实数a的取值范围为
2.(2022·福建·厦门一中高一期末)已知函数.
(1)当时,求在上的值域;
(2)当时,已知,若有,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【详解】(1)当,
令,设,,
函数在上单调递增,,
的值域为.
(2)设的值域为集合的值域为集合根据题意可得,
,
令,,,
函数在上单调递增,且,
,
又,所以在上单调递增,
,,
由得,
的取值范围是.
【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:
一般地,已知函数,,
(1)若,,总有成立,故;
(2)若,,有成立,故;
(3)若,,有成立,故;
(4)若,,有,则的值域是值域的子集.
3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,且.
(1)求实数m的值,并求函数的值域;
(2)函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1),值域为;(2)或.
【详解】(1)由,得,即.
∴在上递减,在上递增,且,.
∴值域为.
(2)对于任意,总存在,使得成立,则的值域是值域的子集;
依题意知,,
当时,,即.
∴,解得.
当时,,即.
∴,解得.
故或.
【点睛】结论点睛:本题考查特殊函数的应用以及由命题成立确定集合包含关系:
(1)特殊函数:图像在一、四象限,在第一象限以为界先减后增;
(2)若使,则值域包含于的值域.
4.(2022·全国·高一课时练习)已知函数,且.
(1)判断并证明在区间上的单调性;
(2)若函数与函数在上有相同的值域,求的值;
(3)函数,若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【详解】(1)在区间上为减函数.任取,,由于,,,所以,所以在上递减.
(2)因为在上递减,所以其值域为,即时,.因为为最大值,所以最小值只能为或.若,则.若,则.综上所述,.
(3)当,时,在上递减,所以在上的最大值为,最小值为.由(2)知在上的值域为.所以,所以,解得.
5.(2022·重庆·高二阶段练习)已知函数是常数),此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行
(1)求的值,并求出的最大值;
(2)设,函数,若对任意的,总存在,使
求m的取值范围
【答案】(1),
(2)
(1)
对求导,得,
由题意可得,,
解得,
所以,
定义域为,且,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当时,有极大值,也为最大值且.
(2)
设的值域为的值域为,
由题意“对于任意的,总存在使得”,
等价于,
由(1)知,
因为,所以,故在上单调递减,
所以,
即,
所以,
因为,
所以,
因为,故,
所以在上是增函数,
所以,
即,
故
由,得,
解得,
所以实数的取值范围是.
【关键点点睛】解第二问的关键是准确理解题意,将问题转化为两个函数值域的问题求解是解题的关键.对于此类问题,还要注意以下的结论:
①
②;
③;
④;
⑤.
当函数的最值不存在时可用值域的端点值代替.
6.(2022·全国·高二课时练习)已知函数函数,若存在及,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】
【详解】由题意,
当时,,
当时,,,恒成立,
所以在上单调递增,所以,
所以函数在上的值域为,
的值域为,
并且.
若,即或,
解得或,
所以,若,的取值范围是.
②型(或型)
1.(2022·全国·高二单元测试)已知函数,.若对任意,,都有恒成立,则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【详解】,
所以在区间递减;在区间递增.
所以在区间上,的极小值也即是最小值为.
二次函数的开口向下,对称轴为,
所以当时,取得最大值为,
由于对任意,,都有恒成立,
所以,即的取值范围是.
故答案为:
2.(2022·上海市洋泾中学高二阶段练习)已知,定义:表示不小于的最小整数,例如:,.
(1)若,求实数的取值范围:
(2)若,且,求实数的取值范围;
(3)设,,若对于任意的,,都有,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)
由定义可得,实数的取值范围为;
(2)
若,则,
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