2-4微分中值定理.ppt

第四节若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,例1.证明方程2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的有限增量形式:例2.证明等式例3.证明不等式3、柯西(Cauchy)中值定理证:作辅助函数内容小结拉格朗日(1736–1813)柯西(1789–1857)*三、函数性态的研究一、微分中值定理导数的应用二、洛必达法则中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理一、微分中值定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点1、罗尔(Rolle)定理不妨设则至少存在一点使而证毕有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏证毕推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.令则证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上证:设中值定理条件,即因为故因此应有分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西且使即由罗尔定理知,至少存在一点1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,运行时,点击“二.拉格朗日中值定理”,或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。运行时,点击标题“三、柯西----”或“柯西”按钮,或相片,可显示柯西简介,并自动返回.*****