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微积分的创立、发展及意义

摘要

该文主要论述了微积分的创立过程、微积分的发展历程，以及微积分的重要

意义。在微积分的创立过程中，主要说明了创立背景、微积分的两位创始人独立

创立微积分的过程以及微积分的基本内容及基本方法；其次，以欧拉为主要代表

介绍了微积分的发展历程；最后论述了微积分对科学、社会、工业、航空等方面

的影响及其深远意义。

关键词：微积分数学史创立发展意义论文

1、微积分的创立

1.1微积分的创立背景[1]

克莱因（M.Klein）认为：微积分的创立，首先是处于17世纪主要两科学问

题，即有四种主要类型的问题有待用微积分去解决。

第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻

的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度

和距离。

第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大

的影响。

第三类：问题是求函数的极大极小值。

第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。

首先对微积分的创造作出贡献的是开普勒和伽利略。用无数个无穷小之和计

算面积和体积是开普勒的基本思想，而这一思想的精华是从阿基米德的著作中吸

收的，伽利略则奠定了实验和理论协调的近代科学精神，这对于微积分的形成是

至关重要的。

对于微积分的孕育有重要影响的是1635年卡瓦列利(B.Cavalieri意大利)

的《不可分连续量的几何学》的发表，他对前人的微积分结果作了初步系统的综

合，并创立了一种简易形式的积分法——不可分量法，使卡瓦列利的不可分量更

接近于定积分计算的，是法国的帕斯卡(Ｂ.Pascal)和英国的瓦里士（J.Wallis）。

瓦里士是牛顿、莱布尼茨之前把分析方法引入微积分的工作做得最多的人。对微

积分的孕育具有重要影响的人物是法国的费马(Fermat)，最迟在1636年他已达到

求积分方法上的算术化程度，微积分的另一个重要课题——求极值的方法也是费

马创造的。

在17世纪，至少有10多位大数学家探索过微积分，而牛顿(Newton)、莱布

尼茨(Laeibniz)，则处于当时的顶峰。牛顿、莱布尼茨的最大功绩在于能敏锐的

从孕育微积分的各种个例形态中洞察和清理出潜藏着的共性的东西——无穷

小分析，并把它提升和确立为数学理论。

1.2牛顿与莱布尼茨[2]

牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，就微积分的创立而言，尽管在

背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。他们

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都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相当的问题

归结为反切线（微分）运算。应该说，微积分能成为独立的科学并给整个

自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼茨的工作。在科学

史上，重大的真理往往在条件成熟的一定时期由不同的探索者相互独立地

发现，微积分的创立，情形也是如此。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学

科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来

源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学

来考虑的。

1.2.1牛顿的微积分

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，

他在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前

自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把

这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知

连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时

间内经过的路程(积分法)。

1.2.2莱布尼茨的微积分

1684年，莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大极小和

切线的新方法》（简称《新方法》），刊登在《教师学报》上，这也是数学史

上第一篇正式发表的微积分文献。该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分

学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx,dy。莱布尼茨假

设横坐标的微分是任意的量，纵坐标的微分就定义为它与之比