专题06 乘法公式压轴五大类型（解析版）.docxVIP

专题06乘法公式压轴五大类型

题型一：展开式是完全平方问题

题型二：利用乘法公式化简求值问题

题型三：利用完全平方配方法求最值值问题

题型四：平方差公式在几何图形中的应用

题型五：完全平方公式在几何图形中的应用

题型一：展开式是完全平方问题

【典例1】（2023秋?宁强县期末）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（）

A．6 B．±6 C．12 D．±12

【答案】D

【解答】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4，

∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4，

∴，

∴．

故选：D．

【变式1-1】（2023秋?望城区期末）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，那么k的值是（）

A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．﹣9

【答案】A

【解答】解：（x﹣3）2＝x2﹣6x+9＝x2+kx+9，可得k＝﹣6．

故选：A．

【变式1-2】（2023?任丘市模拟）小刚把（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，把（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（）

A．1 B．﹣1 C．4043 D．﹣4043

【答案】C

【解答】解：∵（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，

∴a＝20222，

∵（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，

∴m＝20212，

∴a﹣m＝20222﹣20212＝（2022+2021）（2022﹣2021）＝4043，

故选：C．

【变式1-3】（2023秋?松江区月考）若（x+m）2＝x2﹣6x+n，则m+n＝6．

【答案】6．

【解答】解：已知等式整理得：x2+2mx+m2＝x2﹣6x+n，

可得2m＝﹣6，m2＝n，

解得：m＝﹣3，n＝9，

m+n＝﹣3+9＝6．

故答案为：6．

题型二：利用乘法公式化简求值问题

【典例2】（2023秋?衡阳期末）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1）

＝x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x

＝x2+3，

当x＝时，原式＝2+3＝5．

【变式2-1】（2023春?道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣x2+4x﹣4﹣3x2＝4x﹣5，

当x＝﹣时，原式＝﹣1﹣5＝﹣6．

【变式2-2】（2022秋?东莞市期末）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣，y＝﹣2．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）

＝4x2﹣12xy+9y2﹣4x2+y2

＝10y2﹣12xy，

当x＝﹣，y＝﹣2时，原式＝10×（﹣2）2﹣12×（﹣）×（﹣2）＝36．

【变式2-3】（2022秋?郸城县期中）先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y），其中x＝1，y＝2．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）

＝[x2﹣y2+2xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2]÷（2y）

＝[﹣4y2+4xy]÷（2y）

＝﹣2y+2x，

当x＝1，y＝2时，原式＝﹣2×2+2×1＝﹣2．

题型三：利用完全平方配方法求最值问题

【典例3】（2022秋?偃师市期末）（1）用等号或“＞”、“＜”填空，探究规律并解决问题：比较a2+b2与2ab的大小．

①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝2ab；

②当a＝2，时，a2+b2＞2ab；

③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＞2ab．

（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；

（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△BCG的面积为2保持不变，请直接写出S1+S2的最小值．

【答案】（1）＝，＞，＞；

（2）a2+b2≥2ab；证明见解答；

（3）8．

【解答】解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab；

②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab；

③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab；

故答案为：＝，＞，＞：

（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：

∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣