数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(2).pptx

第五章数值积分(2)在本章的第二部分中,我们将深入探讨数值积分的更复杂的技术,包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及自适应积分法等。这些方法能够更精确地计算难以积分的函数,为数值分析提供强大的工具。5.4复化梯形公式复化梯形公式是对基本梯形公式的扩展和改进。它通过将积分区间划分为多个小区间,分别应用梯形公式并求和,从而提高了数值积分的精度。这种方法特别适用于积分区间较大或被积函数较为复杂的情况。梯形公式的推导定义积分我们从定义积分的几何意义入手,将给定的积分区间划分为n个小区间。近似面积在每个小区间上,我们可以用梯形的面积来近似该区间下曲线的面积。累加求和将所有小区间的梯形面积累加起来,就得到了原积分区间下曲线的近似面积。梯形公式的误差分析梯形公式的误差主要来源于两个方面:一是对函数在各小区间的线性逼近误差,二是对各小区间的面积计算误差。通过对误差项进行数学分析,可以得到梯形公式的误差界。这种误差分析为我们选择合适的分割数n提供了依据,从而达到预期的精度要求。复化梯形公式复化梯形公式是对基本梯形公式的扩展。它将积分区间划分为多个小区间,在每个子区间上应用梯形公式,然后将所有子区间的结果相加。这种方法能够有效提高数值积分的精度,特别适用于积分区间较大或被积函数较为复杂的情况。复化梯形公式的误差分析复化梯形公式的误差主要包括两部分:线性逼近误差和区间划分误差。线性逼近误差来自于在每个小区间上使用直线近似曲线,而区间划分误差则源于将连续的积分区间切割为离散的小区间。通过数学分析,可以得出复化梯形公式的误差界,为选择合适的区间数n提供依据,从而达到预期的积分精度。复化梯形公式的误差估计线性逼近误差1在每个子区间内,使用直线近似曲线会产生误差。区间划分误差2将连续积分区间切割为离散子区间会引入误差。总体误差估计3通过分析两类误差,可以得出复化梯形公式的整体误差界。复化梯形公式的误差来自两个主要因素:线性逼近误差和区间划分误差。线性逼近误差是由于在每个子区间上使用直线近似曲线而产生的误差。区间划分误差则源于将连续的积分区间切割为离散的小区间。通过数学分析这两类误差,我们可以得出复化梯形公式的整体误差界,为选择合适的区间数n提供依据,从而达到预期的积分精度。5.5复化辛普森公式复化辛普森公式是对基本辛普森公式的扩展。它通过将积分区间划分为多个子区间,在每个子区间上应用辛普森公式并求和,从而提高了数值积分的精度。这种方法特别适用于积分区间较大或被积函数较为复杂的情况。辛普森公式的推导定义积分区间我们将给定的积分区间划分为n个等长的小区间。应用二次多项式逼近在每个小区间上,我们用二次多项式来近似被积函数。计算单个子区间积分对于每个子区间,我们可以解析地计算出二次多项式的积分。累加所有子区间将所有子区间的积分结果累加起来,就得到了整个积分区间的近似值。辛普森公式的误差分析辛普森公式的误差主要源于两个方面:一是对被积函数在每个子区间上的二次多项式逼近误差,二是对积分区间的离散化误差。通过对这两类误差进行数学分析和推导,可以得出辛普森公式的整体误差界。这有助于我们选择合适的区间数n,从而达到预期的积分精度要求。复化辛普森公式复化辛普森公式是对基本辛普森公式的扩展。它通过将积分区间划分为多个子区间,在每个子区间上应用辛普森公式并求和,从而提高了数值积分的精度。这种方法特别适用于积分区间较大或被积函数较为复杂的情况。复化辛普森公式的误差分析复化辛普森公式的误差分析主要包括两个部分:多项式逼近误差和离散化误差。多项式逼近误差源于在每个子区间内使用二次多项式近似被积函数,这种近似无法完全捕捉函数的变化趋势。离散化误差则来自于将连续的积分区间划分为离散的子区间,无法精确地描述整个区间的积分。通过深入的数学分析,可以得出复化辛普森公式的总体误差界,为选择合适的子区间数n提供依据,从而达到期望的积分精度。复化辛普森公式的误差估计多项式逼近误差1二次多项式无法完全捕捉函数变化离散化误差2区间离散化无法精确描述整体积分总体误差分析3通过数学分析,得出复化辛普森公式整体误差界复化辛普森公式的误差主要源于两个方面:一是对被积函数在每个子区间上采用二次多项式进行逼近时的误差,二是由于将连续的积分区间离散化为子区间而引入的误差。通过深入的数学分析,可以得出复化辛普森公式的总体误差界,为选择合适的子区间数n提供依据,从而达到期望的积分精度。自适应积分法自适应积分法是一种数值积分的高级方法,它能根据被积函数的复杂程度自动调整积分区间的划分,从而在保证精度要求的前提下,提高运算效率。这种方法适用于积分区间较大或被积函数较为复杂的情况。自适应梯形公式自适应梯形公式是一种灵活、高效的数值积分方法。它通过不断细分和评估积分区间,自动调整区间划分以满足预设的精度要求。这种方法能够应对被