高中数学：3《8-2-2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第一课时》教学设计.docx

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教学设计

课程基本信息

学科

（数学）

年级

（高二）

学期

(春季)

课题

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时）

教科书

书名：选择性必修第三册教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年3月

教学目标

熟悉认知一元线性回归模型．

正确理解一元线性回归模型的参数关系，学会简单的应用.

3.熟悉认知经验回归方程和经验回归直线、残差概念．

4.逐步熟悉并掌握最小二乘法，学会简单的应用.

教学内容

教学重点：

认知一元线性回归模型，熟悉认知经验回归方程和经验回归直线、残差概念.

教学难点：

正确理解一元线性回归模型的参数关系，熟悉并掌握最小二乘法及其应用.

教学过程

一、复习回顾，温故知新

设计意图：通过复习旧知调动学生已有的相关知识，激发学生的学习兴趣，引入本节课的课题。

二、问题探究，理解方法

探究一探究“最贴近”直线的方法

问题1为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型表达式

刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b?

与函数模型不同，回归模型的参数一般是无法精确求出的，只能通过成对样本数据估计这两个参数.参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.

问题2如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？

【设计意图】明确问题，指明思考的方向，引发学生思考.

思路1：先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线．

思路2：可以在散点图中选两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线．

思路3：在散点图中多取几对点，确定出几条直线，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数作为所求直线的斜率和截距．

【设计意图】学生经历提出问题、分析问题的过程，学生在独自思考中进步，在思维碰撞中成长。通过同学之间的相互讨论，体会统计方法的合理性，培养学生数据处理能力。

探究二最小二乘法求参数a，b

上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径.

通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.

设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)．

由，得.显然越小，表示点与点的“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小.因此可以用这n个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”.

【设计意图】在学生最近发展区内提出问题，使学生既能面对适度的学习困难，又能保持足够的学习兴趣，提高学生数学思维的参与度。类比物理中里的分解进行学科间知识迁移，成功突破难点。

问题2：如何求a，b的值，使最小？

【设计意图】将距离最值问题抽象为函数求二元函数最值问题.

下面利用成对样本数据求使Q取最小值的a，b.

记，，

因为

，

注意到

，

所以.

上式右边各项均为非负数，且前n项与a无关。所以，要使Q取到最小值，后一项的值应为0，即.

此时.

上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为.综上，当a，b的取值为时，Q达到最小.

【设计意图】让学生经历完整的数学模型建立过程，提升学生的数学建模能力。由单个点上升到整体，保持了知识的连贯性、思想方法的一致性。

探究三经验回归方程

我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.

残差分析、判断精度

利用上节课的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程.

利用数学软件Geogbra画出散点图和线性回归直线

问题3：如何理解经验回归直线？

追问1：当x=176时，,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？

追问2根据经验回归方程中斜率的具体含义,高个子的父亲一定生高个子的儿子吗？同样,矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗？

英国著名统计学家高尔顿（F.Galton，1822—1911）把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”.

后来，人们把由一个或多个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析.

追问3根据模