9简单实用数学模型.ppt

9.3简明实用数学模型这是一个变量可分离方程，容易解得它称为马尔萨斯的人口指数增长模型，它表明任一时刻的人口总数都是按指数规律增长的．若已知时人口总数为，则有人口模型9.3简明实用数学模型3.模型检验与应用我国1990年7月1日的人口总数为11.6亿，过去8年的人口增长率为14.8，假定今后的年增长率也保持这个数字，因此，于是在年的人口指数增长模型为用人口指数增长模型（19）估算2000年我国人口的总数约为13.45亿，基本上与实际相符（2000年7月1日我国人口总数为12.95亿）．但用它预测2044年、2090年我国的人口总数分别是25.8亿和50.96亿，这是不符合实际的．9.3简明实用数学模型因为随着人口的增长，自然资源、环境条件因素对人口继续增长的阻止作用越来越明显．因而上述模型中，假设人口增长率为一常数，在时间间隔不太大的情况下是合适的，但当时间间隔增大时，人口增长率会随人口继续增加而逐渐降低．为了使人口预测工作更符合实际，必须修改人口增长指数模型中关于增长率是常数这一基本假设．再根据人口总量有最大容量等因素来建立新的模型．******9.3简明实用数学模型【例8】房屋抵押贷款.某人用贷款购置住房，贷款采用等额本息还款方式，即在10年内每月末向银行归还同一数额的款项.设银行该项贷款月利率为3.6‰，借款20万元，每月还款为多少？【解】每月末的还款可视作发生在期末的年金A，所有还款的现值等于贷款总额Q.由年金现值公式可求得即得每月还款的计算公式（或分期付款模型）:9.3简明实用数学模型即得每月还款的计算公式（或分期付款模型）:其中A为每月末的还款数，Q为贷款总额，R为月利率，为贷款总月数.故分期付款模型（9）可表示为将已知条件，代入分期付款模型⑼，可得（万元），即每月应还款2055.46元．9.3简明实用数学模型四、鱼群的适度捕捞模型1.问题描述鱼群是一种可再生的资源。若现在的鱼群总数，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数会发生变化．鱼群在自然环境中生长，为了充分发挥自然环境的作用，最大限度的利用自然资源，必须保持鱼群数量的稳定．因此在捕鱼时必须注意适度捕获．问鱼群的数量控制在多大时，才能获取最大的持续捕捞量？下面来建立鱼群的适度捕捞模型．9.3简明实用数学模型2.模型构建与求解假设鱼群的年自然生长率为R，自然环境所能容纳的最大鱼群数量为N，目前鱼群的总数为（单位：），经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数为．反映与之间相互关系的曲线称为再生曲线，记为．为使鱼群的数量保持稳定，在捕鱼时必须控制捕捞的数量。问鱼群的数量控制在多大时，才能获取最大的持续捕捞量？9.3简明实用数学模型现在研究鱼群的再生曲线．假设鱼群的自然生长率为，故一般可认为，但是，由于自然环境的限制，当鱼群的数量过大时，其生长环境就会恶化，导致鱼群增长率的降低。为此，我们乘上了一个修正因子．因鱼群的再生曲线为（其中是鱼群的自然生长率，N是自然环境能够负荷的最大鱼群数量）．所以假设每年的捕获量为，则第二年的鱼群总量为要限制鱼群总量保持在某一个数值，则，9.3简明实用数学模型由于只有一个驻点，且该实际问题存在最大值，故该驻点就是最大值点．现在求的最大值：由 ，得驻点 ．因此，鱼群规模控制在时，可以使我们获得最大的持续捕捞量．此时9.3简明实用数学模型所以鱼群的最大持续捕捞模型为其中